Múltiplos y divisores

¿Son importantes las divisiones exactas?

La multiplicación y la división son operaciones "emparentadas". Una es la operación inversa de la otra. No tienes más que pensar en cualquier par de números enteros y multiplicarlos. Por ejemplo:

multiplicación

De esa multiplicación podemos sacar dos divisiones exactas:

24entre6  y 24entre4

Matemáticamente, se dice que existe una relación de divisibilidad entre 24 y 6 (o entre 24 y 4). Es exactamente lo mismo que decir que 24 es múltiplo de 6 y 4, o que 6 y 4 son divisores de 24.

Definición DEFINICIÓN Existe una relación de divisibilidad entre dos números enteros  a y b si la división a : b es exacta. En ese caso, decimos que a es múltiplo de b y que b es divisor de a.

Reflexión

Cuando una división es exacta, si cambiamos el divisor por el cociente, tenemos otra división exacta, así que las relaciones de divisibilidad vienen a pares. Por ejemplo, si consideramos la siguiente división:

56entre7

Podemos decir que hay una relación de divisibilidad entre 56 y 7, que 56 es múltiplo de 7 o que 7 es divisor de 56.

¿Qué más podemos decir?

¿Todo esto para volver a hablar de multiplicaciones y divisiones?

Vale, es posible que repasar las divisiones exactas no sea un salto conceptual espectacular, pero fíjate otra vez en el primer ejemplo. A partir de una multiplicación, hemos descompuesto 24 en "piezas más pequeñas", pero esa descomposición no es única, podríamos encontrar otras diferentes.

cuentas

De hecho, si queremos usar más de dos enteros, podemos tener más descomposiciones:

cuenta

También podríamos utilizar enteros negativos:

cuenta

¿Cuál es la mejor descomposición? ¿Qué condiciones deberían tener los números que usemos como "piezas más pequeñas"? ¿Valdría el 6?, ¿el 4?, ¿el 2?

icono_observacion OBSERVACIÓN Todavía no sabemos cómo será la mejor descomposición, pero lo que sí podemos hacer es evitar duplicidades por cuestiones de signo. Por ese motivo, en el resto de la unidad consideraremos siempre enteros positivos, aunque se mencionará en algún momento cómo se haría para los negativos.

¡Ojo con los múltiplos y los divisores!

Los múltiplos de un número contienen a dicho número una cantidad exacta de veces. Para obtener múltiplos de cualquier número no tienes más que multiplicar dicho número por un entero cualquiera.

icono_observacion OBSERVACIÓN

  • Todo número entero tiene infinitos múltiplos, excepto el 0, que tiene sólo uno (él mismo).
  • Todo entero es múltiplo de sí mismo y de la unidad (el 1).

Los divisores de un número están contenidos en dicho número una cantidad exacta de veces. Para obtener divisores de un número tienes que encontrar divisiones exactas en las que dicho número sea el dividendo.

icono_observacion OBSERVACIÓN

  • Todo número entero tiene una cantidad finita de divisores, excepto el 0, que tiene infinitos divisores (cualquier número menos el propio cero).
  • Todo número entero no nulo tiene al menos dos divisores: él mismo y la unidad (el 1).

Teniendo en cuenta lo anterior, parece sencillo encontrar múltiplos de cualquier número. Para números pequeños es también sencillo encontrar todos sus divisores, pero para números algo más grandes es mejor seguir una estrategia, ya que, de lo contrario, es normal "olvidarse" de alguno. Veremos un método más adelante.

Ejercicio 1

icono_ordenador ¿Cuáles de los siguientes números son múltiplos de 3?

18

-18

1

23

1371

-562

2618

-2619



Ejercicio 2

icono_ordenador Escribe, de menor a mayor, todos los divisores (positivos) de:

a) 36

b) 72

a) Los divisores de 36 son: , , , , , , , y .

b) Los divisores de 72 son: , , , , , , , , , , , .

  
Ejercicio 3

icono_ordenador Completa las siguientes multiplicaciones y vuelve a leer la primera pregunta de la retroalimentación del ejercicio anterior.

a) 1\cdot 72 =  g) 1\cdot 36 = 
b) 2\cdot 36 =  h) 2\cdot 18 = 
c) 3\cdot 24 =  i) 3\cdot 12 = 
d) 4\cdot 18 =  j) 4\cdot 9 = 
e) 6\cdot 12 =  k) 6\cdot 6 = 
f) 8\cdot 9 =