Todos los divisores de un número

La parte final de la unidad la vamos a dedicar a buscar unos múltiplos y divisores concretos a partir de la descomposición de números enteros, así que es interesante ver la relación que hay entre los múltiplos y divisores de un número y la factorización del mismo.

Vamos a tomar como ejemplo el número  y su descomposición:

Los múltiplos son los más fáciles de encontrar, basta con multiplicar el número por otro entero, por ejemplo:

Los múltiplos de un número entero contienen a todos los factores de dicho número.

Para los divisores es algo más complicado pero también guardan relación con los factores del número ( en este caso). La idea es combinar los factores primos de nuestro número de todas las formas posibles. En nuestro caso podemos incluir hasta tres veces el , hasta dos veces el  y sólo una vez el . La siguiente tabla recoge todas las opciones:

Otra forma de hacerlo es repartir los factores de  en dos bloques, de todas las formas posibles. Cada reparto en dos bloques no daría dos divisores. Los doce repartos posibles nos darían los 24 divisores anteriores. A continuación tienes tres de esos posibles repartos:

 Cada divisor de un número entero está formado por una de las posibles combinaciones de  los factores primos de dicho número.

Calcular de manera rápida todos los divisores de un entero a partir de su descomposición en factores primos no es algo cómodo, pero sí es fácil saber cuántos divisores tiene el número.

Acabamos de decir que cada divisor es una combinación diferente de los factores primos del número dado. Sólo tenemos que contar cuántas de esas combinaciones existen.

El exponente de un primo en la descomposición de un entero indica la cantidad de veces que aparece, que será el tope de veces que podrá aparecer en cada uno de los divisores que tenga ese número.

Por ejemplo, , así que:

• Podemos seleccionar el  una vez, dos veces, tres veces o ninguna (4 opciones).
• Podemos seleccionas el  una vez, dos veces o ninguna (3 opciones).
• Podemos seleccionar el  una vez o ninguna (2 opciones).

Siempre tenemos, para cada factor, una opción más que la que marca el exponente. No tenemos más que multiplicar estas opciones y el resultado será el número de combinaciones posibles. En este caso .

a) ; por tanto tiene  divisores.

b) ; por tanto tiene  divisores.

c) ; por tanto tiene  divisores.

d) ; por tanto tiene  divisores.

Ya hemos dicho que es más fácil saber cuántos divisores tiene un número que calcularlos todos. No es que calcularlos sea muy complicado, pero sí puede ser lento y engorroso. En lugar de leer una descripción con palabras, es mejor que veas el siguiente ejemplo de cómo hacerlo.