Mínimo común múltiplo

¿Cómo se calcula el mínimo común múltiplo?

¿Qué pasa con los múltiplos comunes? ¿Nos interesa encontrar el mayor o el menor? ¿Será útil? En el caso de los múltiplos, nos interesará encontrar el común más pequeño. No tiene sentido preguntarse por el mayor, pues hay infinitos múltiplos comunes a varios números (una vez encuentres el más pequeño, puedes conseguir tantos como quieras, sólo tienes que... multiplicar).

Como en el caso anterior, una posible estrategia sería buscar múltiplos de los números por separado hasta que lleguemos a encontrar el primero que sea igual para todos... pero no es una buena idea. Sería lento y con demasiados cálculos.

Vamos a utilizar otra vez la descomposición en factores primos (ha sido útil aprender a hacerlo, ¿no?).

Sabemos que cada múltiplo de un número entero contiene a todos los factores primos de dicho número. Entonces, lo lógico sería coger todos los factores que aparezcan en las descomposiciones de los números con los que trabajemos. Lógicamente, si hay factores repetidos, los escogeremos una sola vez, ya que queremos que nuestro múltiplo común sea el menor de todos los que hay.

Si queremos calcular el mínimo común múltiplo de 120 y 252, lo que hacemos es tomar todos los factores de sus descomposiciones, sean comunes o no, teniendo la precaución de no repetir factores.

e

Como en el caso anterior, no es necesario separar las potencias. Sólo necesitas hacer dos cosas:

icono_algoritmo ALGORITMO Para calcular el mínimo común múltiplo (\begin{verbatim}m.c.m.\end{verbatim}) de varios enteros

  • Descomponemos los números en factores primos.
  • Escogemos todos los factores primos que aparezcan, comunes y no comunes, sin repetirlos y elevados al mayor de los exponentes con que aparecen.

Para el ejemplo anterior, después de hacer las descomposiciones, sólo escribiríamos:

e

 

icono_observacion OBSERVACIÓN Existe una relación entre el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo que nos puede ayudar a reducir las cuentas.

Dados dos números enteros a y b distintos de cero,

\begin{verbatim}m.c.d.\end{verbatim}\(a,b\) \cdot \begin{verbatim}m.c.m.\end{verbatim}\(a,b\) = a \cdot b

En el ejemplo anterior, como ya conocíamos el máximo común divisor de  120 y 252, podíamos haber calculado el mínimo común múltiplo usando esta propiedad.

\begin{verbatim}m.c.m\end{verbatim}\(120,252\)=\frac{120 \cdot 252}{\begin{verbatim}m.c.d\end{verbatim}\(120,252\)}=\frac{30240}{12}=2520

Ejemplos

e 
e
e
e
Reflexión

¿Qué sucede si nos piden calcular el mínimo común múltiplo de dos números y uno de esos números es múltiplo del otro?

Ejercicio 1

icono_libreta+icono_ordenador Calcula en tu libreta el máximo común divisor de cada apartado utilizando el método que acabamos de describir. Comprueba al final el resultado.

a) \begin{verbatim}m.c.d.\end{verbatim}\(10,15\)=  f) \begin{verbatim}m.c.d.\end{verbatim}\(135,180\)= 
b) \begin{verbatim}m.c.d.\end{verbatim}\(16,24\)=  g) \begin{verbatim}m.c.d.\end{verbatim}\(48,72\)= 
c) \begin{verbatim}m.c.d.\end{verbatim}\(12,16\)=  h) \begin{verbatim}m.c.d.\end{verbatim}\(105,120\)= 
d) \begin{verbatim}m.c.d.\end{verbatim}\(18,32\)=  i) \begin{verbatim}m.c.d.\end{verbatim}\(8,12,16\)= 
e) \begin{verbatim}m.c.d.\end{verbatim}\(36,45\)=  j) \begin{verbatim}m.c.d.\end{verbatim}\(45,60,105\)= 
  
Ejercicio 2

icono_libreta+icono_ordenador Completa cada uno de los apartados con el número que falta. Utiliza la relación que hay entre el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números.

a) x=48,  y= 54,  \begin{verbatim}m.c.d.\end{verbatim}\(x,y\)=6,  \begin{verbatim}m.c.m.\end{verbatim}\(x,y\)= 
b) x=  ,  y= 15,  \begin{verbatim}m.c.d.\end{verbatim}\(x,y\)=3,  \begin{verbatim}m.c.m.\end{verbatim}\(x,y\)=60
c) x=90,  y= 150,  \begin{verbatim}m.c.d.\end{verbatim}\(x,y\)=  ,  \begin{verbatim}m.c.m.\end{verbatim}\(x,y\)=450 
d) x=24,  y=  ,  \begin{verbatim}m.c.d.\end{verbatim}\(x,y\)=12,  \begin{verbatim}m.c.m.\end{verbatim}\(x,y\)=120