Identidades notables y factor común
¿Podemos abreviar o simplificar expresiones algebraicas?
Si te fijas en los ejemplos que aparecen en la unidad para explicar las operaciones con monomios y polinomios, en muchos casos el resultado es una expresión algebraica bastante grande, poco manejable. No es uno de los objetivos principales del tema, pero es interesante conocer herramientas que nos permitan abreviar o simplificar ciertas expresiones algebraicas. Dos de esas herramientas son las identidades notables y el factor común.
ALGORITMO Llamamos identidades notables a las tres siguientes expresiones, que nos permiten abreviar las cuentas necesarias para hacer ciertos productos de binomios:
(CUADRADO DE LA SUMA)
(CUADRADO DE LA RESTA)
(SUMA POR DIFERENCIA)
Estas tres identidades son ciertas para cualquier valor de 
y 
.
Ejemplos:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Piensa...
Las identidades notables no son más que el resultado de completar operaciones que ya conoces. Por ejemplo, para la primera:
¿Eres capaz de hacer las cuentas para llegar a las otras dos identidades notables?
Utiliza el siguiente applet de Geogebra para ver una interpretación gráfica de la primera identidad notable. ¿Eres capaz de dibujar algo parecido en tu libreta para la segunda identidad?
Hacer... y deshacer
Las identidades notables son útiles para completar ciertas operaciones de forma rápida, pero una de sus aplicaciones más interesantes consiste en hacer lo contrario, deshacer cuentas. En esta unidad estamos trabajando los conceptos más básicos del lenguaje algebraico, pero con el tiempo utilizarás expresiones algebraicas cada vez más complejas y necesitarás, al igual que hacíamos en la primera unidad con los números compuestos, descomponerlas para obtener información sobre las mismas.
Las dos herramientas más básicas para la descomposición y simplificación de expresiones algebraicas son las identidades notables y el factor común. La idea es transformar una expresión compleja (aquí lo usaremos para polinomios) en un producto de expresiones más sencillas.
DESCOMPOSICIÓN MEDIANTE IDENTIDADES NOTABLES
Lo único que hay que hacer es comprobar si un polinomio es el resultado de una de las tres identidades notables y, en ese caso, expresarlo como producto de binomios.
Hay ejemplos sencillos:
a) 
b) 
c) 
Hay ejemplos... no tan sencillos:
d) 
e) 
f) 
DESCOMPOSICIÓN MEDIANTE FACTOR COMÚN
Lo único que hay que hacer es encontrar factores comunes a todos los términos de un polinomio y extraerlos. Es la otra cara de la moneda del producto de un monomio por un polinomio. Fíjate en los ejemplos:
a) 
b) 
c) 
Piensa...
Para simplificar una fracción dividimos el numerador y el denominador entre un factor común. Se hace exactamente lo mismo cuando, en lugar de números, aparecen polinomios en el numerador y el denominador. Una expresión de ese tipo recibe el nombre de fracción algebraica y, aunque se escapa del nivel del curso, podemos aplicar lo que sabemos de identidades notables y factor común para simplificar algunas de las más sencillas.
Fíjate en los ejemplos:
a) 
(IDENTIDADES NOTABLES)
b) 
(FACTOR COMÚN)
c) 
(FACTOR COMÚN E IDENTIDADES NOTABLES)
Intenta simplificar las siguientes fracciones algebraicas. Pulsa el botón para comprobar las soluciones.
a) 
b) 
c) 
d) 
