Lenguaje algebraico

Hasta ahora nos ha bastado con utilizar números (enteros, fracciones, decimales...) y operaciones entre ellos para resolver multitud de problemas. Sin embargo, el lenguaje matemático no puede limitarse a números y operaciones. En muchas ocasiones necesitaremos pasar de lo concreto a lo general para intentar resolver no sólo un problema, sino un conjunto de problemas del mismo tipo. Por ejemplo, al hablar de relaciones entre magnitudes en la unidad anterior, vimos que era necesario utilizar algo más que números para expresar dichas relaciones de forma general, no a través del caso particular de un par de valores o una tabla. Muchas situaciones requieren manejar una infinidad de números al mismo tiempo, y como mencionarlos a todos, uno a uno, no es una opción, necesitamos una herramienta que nos facilite la tarea.

Los primeros matemáticos que intentaron describir métodos generales para la resolución de problemas se apoyaron en el lenguaje convencional. La idea era redactar los pasos para la solución de un problema utilizando las palabras del idioma propio. Fíjate en el siguiente extracto de una traducción del Libro del Álgebra, escrito por el matemático Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī, que vivió entre finales del siglo VIII y comienzos del siglo IX:

"Un hombre muere y deja dos hijos, y lega a un amigo un tercio del capital. Y deja diez dirhams de capital y una deuda de diez dirhams a uno de sus hijos. La solución está en tomar como cosa lo extraído de la deuda, y lo sumamos sobre el capital (que es diez dirhams), y tenemos diez más la cosa. Después pones aparte un tercio (porque legó un tercio de su capital), que es tres dirhams más un tercio más un tercio de la cosa..."

El fragmento está incompleto, pero más allá de eso, resulta difícil seguir su explicación, pese a que el objetivo de la obra era facilitar la transmisión de los métodos de resolución de problemas conocidos en la época. Sí puedes apreciar que utiliza varias veces la palabra "cosa" para referirse a lo que se quiere calcular. Es lo que nosotros llamamos en la actualidad incógnita o variable. Esta obra fue uno de los primeros pasos en la creación del lenguaje algebraico, que ha cambiado mucho a lo largo del tiempo, hasta llegar a lo que es hoy en día, un lenguaje universal (no depende de traducciones, es igual en cualquier parte del mundo) y conciso (elimina todos lo elementos superfluos, propios del lenguaje habitual, y se centra en los elementos necesarios para resolver el problema que corresponda).

Es difícil definir el lenguaje algebraico con pocas palabras. Podríamos decir, por ejemplo, que es el conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para la transmisión de ideas matemáticas. Es una definición demasiado amplia, pero más que aprender a recitar lo que es, nos interesa aprender a usarlo. Muchos de esos símbolos y reglas ya los conoces (los números,el orden de las operaciones, las propiedades de la multiplicación...) y otras las estudiaremos en esta unidad (monomios, polinomios, operaciones con polinomios...).

Una expresión algebraica es una combinación de varios de los elementos que forman parte del lenguaje algebraico, que se utiliza para describir una idea matemática. Sin embargo, en esta unidad acotaremos su significado y manejaremos una definición más útil para nuestros objetivos.

Las reglas que se mencionan en la definición son las mismas que ya teníamos en cuenta al trabajar únicamente con números y alguna otra que aparecerá en esta unidad cuando sea necesaria:

• Dos símbolos de operación no pueden aparecer juntos sin estar separados por otro elemento (paréntesis, corchetes, raya de fracción...)
• Cuando realizamos una operación combinada en varias etapas, cada una de ellas tiene que estar precedida del símbolo , y los elementos que no se operan deben repetirse en la misma posición o en una equivalente, siempre respetando las propiedades de las operaciones.
• Si el símbolo  está seguido por una raya de fracción, ésta debe aparecer a una altura intermedia entre las dos rayas del igual.
• El número  puede omitirse cuando está multiplicando a otro número o cuando actúa como exponente.
• El símbolo de la multiplicación puede omitirse cuando a continuación del mismo aparecern unos paréntesis, o cuando se indica el producto de dos variables (letras).
• ...

Antes de aprender a trabajar con expresiones algebraicas es importante saber cómo pasar de lenguaje convencional a lenguaje algebraico. Como cuando aprendes cualquier otro idioma, la clave no está en memorizar un montón de reglas gramaticales, sino en practicar hasta que el paso de un lenguaje a otro resulte natural. Para hacer las traducciones sólo tienes que tener dos ideas muy claras:

• Los elementos desconocidos o aquellos que no tienen un valor fijo se representan mediante letras, mientras que aquellos que tienen su valor completamente determinado se expresan con números. Se puede usar cualquier letra del alfabeto para expresar una variable, excepto la  y la , porque están reservadas para dos números que todavía no conocemos. Las letras más habituales son , , , , , ...
  
• Las relaciones entre números y variables se expresan mediante operaciones matemáticas.

Lo único que necesitas ahora es practicar. Ten en cuenta que hay enunciados fáciles de traducir y otros difíciles. Además, varios enunciados diferentes pueden dar lugar a una misma expresión algebraica. Fíjate en los ejemplos:

ENUNCIADO	EXPRESIÓN ALGEBRAICA
La diferencia entre dos números es 20.
Pedro tiene 20 euros más que Ana.
Andrés en 20 años mayor que Luisa.
El producto de dos números enteros consecutivos.
Propiedad asociativa de la multiplicación

Presta atención a los detalles de los ejemplos anteriores:

• Los tres primeros enunciados tienen asociada la misma expresión algebraica. La diferencia está en lo que representa cada letra en cada una de las ocasiones. La , por ejemplo, representa al mayor de los dos números en el primer caso, el dinero que tiene Pedro en el segundo caso y la edad de Andrés en el tercer caso.
• Las expresiones anteriores se podrían cambiar por otras equivalentes. Insistiremos en esta idea cuando trabajemos con ecuaciones, pero es lo mismo escribir  que .
• Hay cuatro expresiones con el símbolo , pero sólo tres de ellas son ecuaciones. Insistiremos en esta idea en la siguiente sección.
• Los tres primeros enunciados sólo requieren conocer las operaciones básicas, pero para el cuarto es necesario saber qué significa "enteros consecutivos" matemáticamente y el quinto exige conocer la propiedad asociativa de la multiplicación.