Números decimales y fracciones

De fracción a decimal

Sabemos que una posible interpretación de las fracciones es como cociente de dos números, de hecho, podríamos decir dividendo y divisor en lugar de numerador y denominador. Por tanto, para conseguir un número decimal a partir de una fracción no tenemos más que dividir.

Por ejemplo:

12/4=3
-27/5=-5,4
8/3=2,66666...
-23/15=1,533333...

En el primer ejemplo, el resultado es entero, en el segundo, decimal exacto, en el tercero, decimal periódico puro y en el último, decimal periódico mixto. ¿Podemos tener como resultado de una división de enteros (fracción) un número decimal no exacto no periódico?

icono_observacion OBSERVACIÓN El número decimal resultado de dividir el numerador de una fracción entre su denominador NO PUEDE SER UN DECIMAL NO EXACTO Y NO PERIÓDICO.

¿Por qué? Muy sencillo. Piensa en el algoritmo de la división. Si tenemos la suerte de llegar a resto 0, el cociente será un decimal exacto. Si, por el contrario, no conseguimos que el resto sea 0, podemos bajar ceros del dividendo tantas veces como queramos. El asunto es que los restos que pueden aparecer en cada paso tienen que ser menores que el divisor, por tanto, hay un número limitado de restos posibles. Por ejemplo, si dividimos entre 4, los restos podrían ser 012 o 3. Entonces, si seguimos dividiendo (bajando ceros) y no conseguimos que el resto sea cero, en algún momento tendrá que repetirse un resto de entre todos los posibles y el cociente será un decimal periódico.

Esto está muy bien, pero ahora viene la gran pregunta. Si los números racionales son aquellos que se pueden expresar como una fracción y una fracción no puede dar como resultado un número decimal no exacto y no periódico, ¿qué son esos decimales?

icono_definicion DEFINICIÓN Los números que no se pueden expresar como fracción se llaman números irracionales. Son números con infinitas cifras decimales no periódicas.

Los números racionales junto a los irracionales forman el conjunto de los números reales.

¿Qué números de los que nos hemos encontrado hasta ahora son irracionales?

  • La raíces cuadradas no exactas de números enteros: \sqrt{2}\sqrt{5}\sqrt{7}...
  • El número pi.
  • Números con un patrón que no sea periódico: 5,123456789101112...8,12112111211112...
Ejercicio 1

icono_ordenador Marca los números racionales de la siguiente lista.

-3,12

\sqrt{9}

\sqrt{-4}

\sqrt{3}

3,45454545...

3,4545545554...

-0,0135353535...

-9/7



De decimal a fracción

Las fracciones pueden representar decimales exactos y decimales periódicos. ¿Podemos construir una fracción a partir de un número decimal de alguno de esos tipos? El procedimiento no será tan directo como para el caso anterior. La ideas es transformar la expresión de un número con coma hasta conseguir que no tenga coma... pero sin cambiar su valor.

Veremos por separado las tres situaciones posibles. A la fracción irreducible que obtengamos a partir de un número decimal la llamaremos fracción generatriz.

DE DECIMAL EXACTO A FRACCIÓN

Es el caso más sencillo. Estos decimales tienen un número finito de cifras decimales. Sólo tenemos que "mover" la coma a la derecha tantos puestos como sea necesario. Para "mover" la coma basta con multiplicar por una potencia de 10. Si queremos mover un puesto, multiplicamos por 10, si son dos puestos, por 100, tres puestos, por 1000... Pero no podemos simplemente multiplicar, porque así cambiaría el valor del número. Hay que "compensar" esa multiplicación con su operación opuesta, la división. Lo que hacemos es poner como denominador la misma potencia de 10 por la que hemos multiplicado el número. Después sólo quedaría simplificar la fracción.

Fíjate en los ejemplos:

a
b
c

DE DECIMAL PERIÓDICO A FRACCIÓN

Este caso es un poco más complicado. Como estos números tienen infinitas cifras decimales, no podemos simplemente "mover" la coma. La idea es buscar otro decimal con el mismo período (para los que sean puros) o dos decimales con el mismo período (para los que sean mixtos) a partir del decimal que tenemos. Una vez hecho esto, restaremos esos decimales con idéntico período, de forma que el resultado sea un entero. La única "pega" es que tendremos que resolver una pequeña ecuación, pero es un caso muy sencillo para 2º ESO.

Vídeotutorial

Es más fácil ver el proceso aplicado sobre un decimal concreto que leer su descripción. Fíjate bien en el siguiente videotutorial.

Ejercicio 2

icono_libreta+icono_ordenador Calcula la fracción generatriz para los siguientes números decimales.

5,6=
  2,1333...=
1,666...=
  0,0555...=
13,454545...
  2,90666...=