El total, la parte y el porcentaje
¿Qué elementos intervienen en el cálculo de porcentajes?
En cualquier situación con porcentajes están involucrados tres elementos: la cantidad total, la parte de esa cantidad y el propio tanto por ciento. En realidad, tenemos entre manos una proporción con dos razones igualadas, una de las cuales siempre tiene el número 100 como denominador.
La forma más sencilla de verlo es como una regla de tres:
| TANTO POR CIENTO |  |
100 |
| PARTE | |
TOTAL |
La primera fila representa el porcentaje (razón entre un número y el 100) y la segunda fila es la misma razón, pero expresada en función de las cantidades que correspondan al problema que trabajemos.
Si nos resulta más cómodo, podemos escribir lo anterior como una igualdad entre razones:
|
 |
|
Cambia la disposición de los números, pero la idea es exactamente la misma: "El tanto por ciento correspondiente es a 100 como la parte es al total".
También podemos pensarlo como una fracción actuando como operador. En ese caso escribiríamos lo siguiente:
|
de TOTAL PARTE |
Cualquiera de las tres opciones es válida para plantear y resolver problemas con porcentajes, sin embargo, usar reglas de tres es posiblemente el método más cómodo.
OBSERVACIÓN Si utilizas reglas de tres para resolver problemas de porcentajes, no tendrás muchos problemas para despejar la incógnita, sea la parte, el total o el tanto por ciento. Si interpretas los porcentajes como fracciones, tampoco deberías tener dificultades para despejar, pero no estarás ante un proceso tan mecanizado como una regla de tres, así que tendrías que prestar especial atención.
Tres elementos...tres situaciones
Al resolver problemas con porcentajes, el enunciado nos dará dos de los tres elementos involucrados y nosotros tendremos que calcular el que falte. A continuación encontrarás tres ejemplos resueltos mediante reglas de tres, uno por cada una de las posibles situaciones. Puedes probar a resolverlos usando las otras interpretaciones de los porcentajes.
SITUACIÓN 1: Desconocemos la parte
Una familia gasta el 36% de su presupuesto mensual en alimentación. Si tienen unos ingresos de 1800 € al mes, ¿cuánto gasta la familia al mes en alimentación?
 |
|
 |
 |
 euros. |
 |
|
 |
RESPUESTA: La familia gasta 648 euros al mes en alimentación.
SITUACIÓN 2: Desconocemos el total
En un congreso de urología, el 15% de los asistentes son españoles. Si sabemos que hay 36 urólogos españoles, ¿cuántos son los asistentes al congreso?
 |
|
|
|
 urólogos. |
|
|
|
RESPUESTA: Al congreso asisten 240 urólogos.
SITUACIÓN 3: Desconocemos el tanto por ciento
Una familia que tiene unos ingresos mensuales de 2400 €, se gasta 300 € en ocio. ¿Qué porcentaje de los ingresos se dedica al ocio?
|
|
|
|
 % |
 |
|
 |
RESPUESTA: La familia dedica un 12,5% de sus ingresos al ocio.
OBSERVACIÓN Puedes utilizar siempre la misma regla de tres, sólo tienes que tener la precaución de colocar la incógnita en el lugar correcto.
¿Cuándo podemos sumar porcentajes?
Si has leído la reflexión de la página anterior, sabrás que si queremos calcular, por ejemplo, el 21% de una cantidad cualquiera, podemos calcular por separado el 20% y el 1% y después sumar. ¿Podemos sumar siempre porcentajes calculados por separado? Depende. Si los porcentajes están calculados sobre un mismo total, sí podemos sumarlos y restarlos con libertad. Estaríamos aplicando la propiedad distributiva en ese caso. Sin embargo, cuando los porcentajes se aplican sobre totales diferentes no podemos sumarlos ni restarlos.
Es un error muy común sumar porcentajes de subidas o descuentos aplicados sobre cantidades diferentes como si se aplicasen a la misma cantidad.
Es más fácil entenderlo con un ejemplo:
Después de una reforma laboral, un trabajador sufre una rebaja del 5% de su sueldo, que era inicialmente de 1500 €. Después de un año, el gobierno decide aplicarle otra rebaja, esta vez del 8%. ¿Cuál es su sueldo después de las dos rebajas? ¿Qué porcentaje de rebaja a sufrido respecto al sueldo inicial de 1500 €?
No debería haber problemas para responder a la primera pregunta.
Inicialmente el trabajador cuenta con el 100% de su sueldo, pero pierde un 5%, así que se queda con un 95%. Esos porcentajes se pueden restar, porque ambos se aplican a los 1500 € iniciales.
€.
Después de la primera rebaja, su sueldo queda en 1425 €. Un año después le aplican otra rebaja, ahora del 8%, sobre el total de su sueldo en ese momento, que ya no es 1500 €, sino 1425 €. La situación es parecida a la anterior, como le quitan un 8%, se queda con un 92% de su sueldo total actual, es decir:
€.
Su sueldo después de dos rebajas es 1311 €, es decir, pierde 189 € al mes respecto del sueldo anterior a la primera rebaja.
La segunda pregunta es también sencilla, pero la intuición puede jugarnos una mala pasada. LA REBAJA TOTAL NO ES DEL 13%. No podemos sumar el 5% y el 8%, porque no se aplican a la misma cantidad. La primera rebaja es sobre los 1500 € iniciales y la segunda sobre los 1425 € que quedan tras el primer descuento.
¿Cómo calculamos el porcentaje entonces? Tenemos varias opciones:
Como sabemos la parte descontada después de las dos rebajas, 189 €, y el total de sueldo inicial, 1500 €, podemos usar una regla de tres para calcular el tanto por ciento de descuento:
|
|
|
|
 % |
 |
|
 |
Otra opción es aplicar de forma consecutiva los dos porcentajes, interpretándolos como fracción o número decimal, y multiplicar para obtener el porcentaje total del sueldo que conserva el trabajador tras las dos rebajas.
o
Llegamos siempre a la misma respuesta: El trabajador conserva un 87,4% de su sueldo, por lo que sufre una rebaja total del 12,6%.
Imagina ahora la siguiente situación:
Un trabajador, con un sueldo 1800 €, sufre una rebaja del 10%. Años después el gobierno decide compensar esa rebaja con una subida del 10% sobre el sueldo del trabajador en ese momento. ¿Recupera el trabajador su sueldo inicial de 1800 €?
Puedes usar el siguiente applet de Geogebra para comprobar las soluciones de los problemas de porcentajes de esta sección. Pulsa el botón correspondiente según la situación y completa los datos que faltan.