Fracciones equivalentes

¿Más de una fracción para un mismo número?

Piensa en el número que quieras. Multiplícalo por . Divide ahora el resultado que has obtenido entre... . ¿Que sucede? Nada. Lógicamente, si "le hacemos" algo a un número y justo a continuación "lo deshacemos", el número vuelve a ser el que era al principio.

Esta idea, junto al hecho de que las fracciones sean el cociente de dos números enteros, permite que muchas fracciones representen el mismo número racional. Más que muchas, infinitas.

Piensa, por ejemplo, en la fracción . Si multiplicamos su numerador y su denominador por el mismo número entero distinto de cero, en realidad, no estamos haciendo nada con la fracción, ya que seguirá representando el mismo número.

equivalentes

Gráficamente, multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número significa partir el "todo" que estamos considerando en piezas más pequeñas, pero en realidad no varía la cantidad de ese "todo" que se toma. Fíjate en la siguiente animación para entenderlo mejor. Las piezas son cada vez más pequeñas, pero la cantidad coloreada de rojo (lo que representa la fracción) no varía.

$ejem_frac_equiv_anim$

icono_definicion DEFINICIÓN Dos fracciones se dicen equivalentes si representan el mismo número racional.

A partir de esta definición surgen dos cuestiones importantes: ¿Cómo conseguir fracciones equivalentes? ¿Cómo comprobar si dos fracciones dadas son equivalentes?

¿Cómo conseguir fracciones equivalentes?

ALGORITMO Para conseguir fracciones equivalentes, podemos:

AMPLIFICAR la fracción dada, multiplicando numerador y denominador por el mismo entero (distinto de cero).
SIMPLIFICAR la fracción dada, dividiendo numerador y denominador entre el mismo entero (distinto de cero), siempre que las dos divisiones sean exactas.

En realidad, estos dos procesos son inversos el uno del otro. La única diferencia importante entre uno y otro es que, mientras la amplificación se puede hacer siempre, la simplificación sólo es posible si el numerador y el denominador tienen un divisor común mayor que , es decir, la simplificación de fracciones es un proceso que termina al llegar a una fracción que no se puede simplificar.

ejemplo_simplifica

DEFINICIÓN Una fracción se dice irreducible si no se puede simplificar, es decir, si su numerador y denominador no tienen ningún divisor común mayor que . Sería lo mismo decir que una fracción es irreducible si el máximo común divisor de su numerador y su denominador es .

Más ejemplos de fracciones irreducibles:

OBSERVACIÓN Tenemos dos opciones para calcular la fracción irreducible de una fracción dada:

Simplificar dividiendo entre divisores comunes al numerador y denominador hasta que no sea posible seguir haciéndolo.
Calcular el máximo común divisor del numerado y el denominador y dividir ambos entre ese número.

En el ejemplo anterior, para la fracción , hemos seguido la primera opción. Lógicamente, el resultado obtenido no depende del método usado:

ejemplo_simpl_2

Ejercicio 1

icono_ordenador Escribe, para cada apartado, las tres fracciones equivalentes que resultan de multiplicar el numerado y el denominador de la fracción dada por , y , en ese orden.

Ejemplo:

Ejercicio 2

icono_ordenador Encuentra la fracción irreducible para cada apartado.