NÚMEROS COMPLEJOS
Álgebra
 
1. ¿POR QUÉ MÁS NÚMEROS?
En la siguiente escena está representada gráficamente la función:
y = ax2+bx+c 

donde puedes cambiar los valores de a, b y c para ver cómo cambia la gráfica para distintos valores de esos coeficientes.

Escribe en tu cuaderno las respuestas a las siguientes preguntas:
1.- En el inicio, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos P1 y P2, donde la gráfica corta al eje X?

2.- ¿Cómo calcularías algebraicamente esas coordenadas?

3.- ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación
x2-4x+3=0?

4.-¿Y las de x2-2x+1=0?

5.-¿Y las de x2-6x+11=0?

6.- Puedes dar otros valores a los coeficientes a, b y c, y con la ayuda de la escena ir resolviendo la ecuación

ax2+bx+c=0

 

Ya habrás deducido que para hallar los puntos de corte con el eje X de la gráfica de la función:

y=ax2+bx+c

has tenido que resolver la ecuación:

ax2+bx+c=0

mediante la fórmula:

que nos da las dos soluciones de la ecuación, x1 y x2, o lo que es lo mismo los puntos de corte de la función con el eje X: P1(x1,0), P2(x2,0)

Pero no siempre da dos soluciones, como habrás visto en los puntos 4 y 5.

7.- ¿De qué depende que la ecuación tenga dos, una o ninguna solución?

CONCLUSIONES

Si llamamos D=b2-4ac, discriminante de la ecuación de segundo grado entonces:

DISCRIMINANTE ECUACIÓN FUNCIÓN
D>0 Dos soluciones Dos puntos de corte con el eje X
D=0 Una solución Un punto de corte con el eje X
D<0 Ninguna solución Ningún punto de corte con el eje X

Pero habíamos titulado a este punto ¿Por qué más números?

Aquí tenemos la respuesta: Hay que dar solución al caso en el que el DISCRIMINANTE es negativo.

Esto es a cuando nos encontramos con la raíz cuadrada de un número negativo cuyo resultado no es ningún número real.

Al número se le llama unidad imaginaria

Así al resolver la ecuación x2-6x+11=0 del apartado 5, nos queda:

 

Al número se le llama número complejo

a+bi  NÚMERO COMPLEJO en forma binómica 
a y b  números reales
a  parte real 
b  parte imaginaria 

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2. HISTORIA
Desde Al'Khwarizmi (800 DC), precursor del Álgebra, que sólo obtenía las soluciones positivas de las ecuaciones, pasaron más de ocho siglos, hasta que finalmente Descartes (en la foto) en 1637 puso nombre a las raíces cuadradas de números negativos, imaginarios, y dedujo que las soluciones no reales de las ecuaciones son números de la forma a+bi, con a y b reales. Durante todo ese tiempo se manejaron esas soluciones sin definirlas claramente, aunque sí Albert Girard en 1629 afirmaba ya que una ecuación polinómica de grado n, tiene n soluciones.
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  Ángela Núñez Castaín
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001