LAS CÓNICAS
Definiciones
Bachillerato
 
2. INTERSECCIÓN DE UN CONO CON UN PLANO.

Las cónicas son curvas planas obtenidas mediante la intersección de un cono con un plano. El ángulo que forman el plano y el eje del cono, comparado con el ángulo que forman el eje y la generatriz del cono determina las distintas clases de cónicas. En la escena siguiente se clarifica esta idea.

La escena adjunta muestra medio cono para facilitar la visualización de lo que se pretende mostrar. Cuando sea necesario se mostrará también la otra mitad.

El pulsador "tipo" que aparece en la parte inferior nos irá mostrando los distintos tipos de cónicas posibles. Ten un poco de paciencia cada vez que realices una pulsación pues la escena tardará en reaccionar dependiendo de la velocidad de tu ordenador, en especial en los tipos 5 y 6.

SUGERENCIA: Para facilitar la visualización de todo lo que se propone en el siguiente apartado puedes imprimir un ligero movimiento de rotación a la escena arrastrándola ligeramente de izquierda a derecha con el botón izquierdo del ratón pulsado y soltándolo enseguida. No es necesario parar la escena cuando cambies el valor del control; tras modificarse seguirá girando a la misma velocidad. Recuerda, además, que puedes cambiar el punto de vista de la escena en cualquier momento con el ratón. Un clic sobre la escena detendrá cualquier movimiento.


A2.1. Haz que el pulsador "tipo" tome el valor 1.

Aparece un plano que forma un ángulo de 90º con el eje del cono. Es obvio que la curva que se obtiene como intersección es una circunferencia.


A2.2. Haz que el pulsador "tipo" tome los valores 2, 3 y 4.

Aparecen planos que forman con el eje del cono un ángulo mayor que el que el eje forma con la generatriz. Las curvas de intersección así obtenidas se denominan elipses. Se caracterizan por ser curvas cerradas más excéntricas a medida que el ángulo entre plano y eje es menor.


A2.3. Haz que el pulsador "tipo" tome el valor 5.

En esta situación el ángulo que forman el plano y el eje del cono es exactamente igual al ángulo que forman el eje y la generatriz. En este caso se muestra la otra mitad del cono para apreciar mejor la anterior circunstancia. La curva intesección es una curva abierta denominada parábola.


A2.4. Haz que el pulsador "tipo" tome el valor 6.

Cuando el ángulo entre plano y eje es menor que el ángulo entre eje y generatriz el plano corta a las dos partes del cono y la curva intersección está formada por dos ramas inconexa y abiertas. La curva así obtenida se denomina hipérbola.

Desde un punto de vista formal, no hay diferencia entre la elipse y la circunferencia. Dicho de otro modo: la circunferencia es un caso particular de elipse. En las siguientes páginas nos dedicaremos a buscar las propiedades que caracterizan a la elipse, a la parábola y a la hipérbola y que servirán como justificación a las definiciones que se dan habitualmente de estas curvas. Usaremos un enfoque geométrico tridimensional basado en las denominadas Esferas de Dandelin.

       
           
  José Luis Alonso Borrego
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2004