Algunos tipos de sucesiones (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija, d\;\!, que llamaremos diferencia.

Por ejemplo:

Imagen:prog_aritmetica.png

es una progresión aritmética con diferencia d=4.

Término general de una progresión aritmética

ejercicio

Término general de una progresión aritmética


El término general, a_n\;\!, de una progresión aritmética de diferencia d\;\! es:

a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \;\!

Suma de términos de una progresión aritmética

ejercicio

Suma de términos de una progresión aritmética


La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:

S_n=\frac{(a_1+a_n) \cdot n}{2}

Actividades

ejercicio

Problema: Progresiones aritméticas


Al excavar tierra para hacer un túnel se pagan 700€ por el primer metro y 95€ de aumento por cada metro sucesivo.

a) ¿Cuánto se pagará por el décimo metro excavado?

b) Calcular el total abonado por los 10 metros excavados.

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Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, r\;\!, que llamaremos razón

Por ejemplo:

Imagen:prog_geometrica.png

es una progresión geométrica de razón r=2.

Término general de una progresión geométrica

ejercicio

Término general de una progresión geométrica


El término general, a_n\;\!, de una progresión geométrica de razón r\;\! es:

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

Suma de términos de una progresión geométrica

ejercicio

Suma de términos de una progresión geométrica


La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:

S_n=\frac{a_1.r^n-a_1}{r-1}

Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica

ejercicio

Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica


La suma de todos los términos de una progresión geométrica en la que su razón verifica que 0<\; \mid r \mid \; <1 se obtiene así:

S_{\infty}=\frac{a_1}{1-r}

Producto de términos de una progresión geométrica

ejercicio

Producto de n términos de una progresión geométrica


El producto de los n primeros términos de una progresión geométrica es:

P_n=\sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n}

Actividades

ejercicio

Problemas: Progresiones geométricas


La recompensa al inventor del ajedrez: Según una leyenda india, el inventor del ajedrez solicitó, como recompensa por el invento, que se pusiera 1 grano de trigo en la primera casilla del tablero, 2 en la segunda, 4 en la tercera, y así sucesivamente; en cada una el doble que en la anterior. El rey aceptó, pero su sorpresa fue grande cuando vio, no sólo que no cabían los granos en las casillas, sino que no había suficiente trigo en todo el reino para cumplir el compromiso.

Suponiendo que 10 granos de trigo pesan aproximadamente 1 g. ¿Podrías averiguar cuántos kg de trigo solicitó el inventor?

Una progresión increible: Supongamos que plegamos, sucesivas veces, una hoja de papel de 0.14 mm de grosor. Con cada pliegue duplicamos el grosor.

Comprueba que:

a) Con 22 dobleces supera la altura de la torre Eiffel (324 m).

b) Con 26 dobleces supera la altura del Everest (8848 m)

c) Con 50 dobleces supera la distancia de la Tierra al Sol (150 millones de km).

Aquiles y la tortuga: Zenón, filósofo griego del s. V a.C., describió la siguiente paradoja:

Aquiles corre a alcanzar a una tortuga que huye de él. Cuando llega donde estaba la tortuga, esta ya ha avanzado un treho. Cuando Aquiles recorre ese trecho, la tortuga avanza otro poco. Y así sucesivamente, cuando Aquiles llega a donde estaba la tortuga, esta ya ha avanzado algo. Por tanto, nunca la alcanza.

Intenta demostrar que este argumento de Zenón es falso. Para ello puede suponer que Aquiles corre 10 veces más rápido que la tortuga y que inicialmente la tortuga se encuentra a una distancia de Aquiles que este tarda en recorrer, por ejemplo, 10 s. Es decir, Aquiles tardaría 10 seg en alcanzar el punto de partida de la tortuga. Una vez alcanzado este, tardaría 1 s en alcanzar la nueva posición de la tortuga, luego 1/10 s en alcanzar el siguiente, etc. Si este proceso lo repetimos infinitas veces (momento en el que se daría alcance a la tortuga), ¿cuánto tiempo habría invertido Aquiles en total?

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Sucesiones de potencias

Una sucesión de potencias es una sucesión de la forma

1, \ 2^m, \ 3^m, \ 4^m, \ 5^m, \ \cdots \ n^m \ \cdots \qquad (m \in \mathbb{N})\;

De ellas, las más frecuentes son para los casos m=2 y m=3, que son las sucesiones de cuadrados y de cubos, respectivamente.

ejercicio

Suma de términos de las sucesiónes de cuadrados y cubos


  • La suma de los n primeros términos de una sucesión de cuadrados es
1+2^2+3^2+4^2+5^2+ \cdots +n^2 = \cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
  • La suma de los n primeros términos de una sucesión de cubos es
1+ \ 2^3+3^3+4^3+5^3+ \cdots +n^3 = \cfrac{n^2(n+1)^2}{4}

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Sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci se debe a Leonardo de Pisa (Fibonacci), matemático italiano del siglo XIII. Es la siguiente:

1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ \cdots

Es una sucesión recurrente dada por la siguiente relación de recurrencia:

F_1=1,\ F_2=1,\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2}

Existe también una fórmula explícita, no recurrente, para el término general:

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Término general de la sucesión de Fibonacci


El término general de la sucesión de Fibonacci es:

F_n=\frac{\phi^n-\left(-\phi\right)^{-n}}{\sqrt5}

siendo \phi\; el número áureo.

\phi=\frac{1+\sqrt5}2

La sucesión de Fibonacci y el número áureo

ejercicio

Ejemplo: La sucesión de Fibonacci y el número áureo


El siguiente problema fue propuesto por Fibonacci, matemático italiano del siglo XIII:

"Cuántas parejas de conejos se producirán en un año, comenzando con una pareja única, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce a su vez desde el segundo més?"

a) Escribe la sucesión cuyos términos son lás parejas de conejos que hay cada més. Esta recibe el nombre de sucesión de Fibonacci.

b) Ahora vas a construir la sucesión que se obtiene al dividir cada término entre el anterior. Esa sucesión verás que se aproxima al número áureo (\phi\;):

\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618033988...

 

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Algunos tipos de sucesiones


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