Algunos tipos de sucesiones (1ºBach)

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Tabla de contenidos

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija, d\;\!, que llamaremos diferencia.

Por ejemplo:

Imagen:prog_aritmetica.png

es una progresión aritmética con diferencia d=4.

Término general de una progresión aritmética

ejercicio

Término general de una progresión aritmética


Sean a_1, a_2, a_3, ..... \;\!términos de una progresión aritmética de diferencia d\;\!. Entonces, se cumple que:

a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \;\!

Suma de términos de una progresión aritmética

ejercicio

Suma de términos de una progresión aritmética


La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:

S_n=\frac{(a_1+a_n) \cdot n}{2}

Ejercicios

(pág. 54)

wolfram

Actividad: Progresiones aritméticas


Dada la sucesión {1, 4, 7, 10, 13, 16, ...}:
a) Halla el término general.
b) Halla el término 20.
c) Halla la suma de los 20 primeros términos.
d) Halla la suma de los términos del 8 al 15.
d) Halla la suma de los términos del p al q.

ejercicio

Ejercicios propuestos: Progresiones aritméticas


    1. ¿Cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas?. En cada una de ellas di cual es su diferencia y calcula dos términos más:

        a) {3, 7, 11, 15, 19, ...}

        b) {3, 4, 6, 9, 13, 18, ...}

        c) {3, 6, 12, 24, 48, 96, ...}

        d) {10, 7, 4, 1, -2, ...}

        e) {17.4, 15.8, 14.2, 12.6, 11, ...}

        f) {-18, -3.1, 11.8, 26.7, 41.6, ...}

    2. En la sucesión 1a), halla el término 20º y la suma de los 20 primeros términos.

    3. En la sucesión 1d), halla el término 40º y la suma de los 40 primeros términos.

    4. En la sucesión 1e), halla el término 100º y la suma de los 100 primeros términos.

    5. En la sucesión 1e), halla los términos 8º y 17º y la suma de los términos del 8º al 17º.

Videotutoriales

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, r\;\!, que llamaremos razón

Por ejemplo:

Imagen:prog_geometrica.png

es una progresión geométrica de razón r=2.

Término general de una progresión geométrica

ejercicio

Término general de una progresión geométrica


Sean a_1, a_2, a_3, ..... \;\!términos de una progresión geométrica de razón r\;\!.
Entonces se cumple que:

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

Suma de términos de una progresión geométrica

ejercicio

Suma de términos de una progresión geométrica


La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:

S_n=\frac{a_1.r^n-a_1}{r-1}

ejercicio

Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica


La suma de todos los términos de una progresión geométrica en la que su razón verifica que 0<\; \mid r \mid \; <1 se obtiene así:

S_{\infty}=\frac{a_1}{1-r}

Producto de términos de una progresión geométrica

ejercicio

Producto de n términos de una progresión geométrica


El producto de los n primeros términos de una progresión geométrica es:

P_n=\sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n}

Ejercicios

wolfram

Actividad: Progresiones geométricas


Dada la sucesión {1, 1/2, 1/4, 1/8, ...}:
a) Halla el término general.
b) Halla el término 10.
c) Halla el producto de los 10 primeros términos.
d) Halla la suma de los términos del 10 al 15.
e) Halla la suma de los infinitos términos.

ejercicio

Ejercicios propuestos: Progresiones geométricas


    1. ¿Cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones geométricas?. En cada una de ellas di cual es su razón y calcula dos términos más:

        a) {1, 3, 9, 27, 81, ...}

        b) {100, 50, 25, 12.5, ...}

        c) {12, 12, 12, 12, 12, 12, ...}

        d) {5, -5, 5, -5, 5, ...}

        e) {90, -30, 10, -10/3, 10/9, ...}

    2. Calcula la suma de los 10 primeros términos de las sucesiones del ejercicio anterior.

    3. En cuáles de las progresiones geometricas del ejercicio anterior puedes calcular la suma de sus infinitos términos?. Hállala.

Videotutoriales

Sucesiones de potencias

Una sucesión de potencias es una sucesión de la forma

1, \ 2^m, \ 3^m, \ 4^m, \ 5^m, \ \cdots \ n^m \ \cdots \qquad (m \in \mathbb{N})\;

De ellas, las más frecuentes son para los casos m=2 y m=3, que son las sucesiones de cuadrados y de cubos, respectivamente.

ejercicio

Suma de términos de las sucesiónes de cuadrados y cubos


  • La suma de los n primeros términos de una sucesión de cuadrados es
1+2^2+3^2+4^2+5^2+ \cdots +n^2 = \cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
  • La suma de los n primeros términos de una sucesión de cubos es
1+ \ 2^3+3^3+4^3+5^3+ \cdots +n^3 = \cfrac{n^2(n+1)^2}{4}

Sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci se debe a Leonardo de Pisa (Fibonacci), matemático italiano del siglo XIII. Es la siguiente:

1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ \cdots

Es una sucesión recurrente dada por la siguiente relación de recurrencia:

F_1=1,\ F_2=1,\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2}

Existe también una fórmula explícita, no recurrente, para el término general:

ejercicio

Término general de la sucesión de Fibonacci


El término general de la sucesión de Fibonacci es:

F_n=\frac{\phi^n-\left(-\phi\right)^{-n}}{\sqrt5}

siendo \phi\; el número áureo.

\phi=\frac{1+\sqrt5}2

La sucesión de Fibonacci y el número áureo

ejercicio

Ejemplo: La sucesión de Fibonacci y el número áureo


El siguiente problema fue propuesto por Fibonacci, matemático italiano del siglo XIII:
"Cuántas parejas de conejos se producirán en un año, comenzando con una pareja única, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce a su vez desde el segundo més?"
a) Escribe la sucesión cuyos términos son lás parejas de conejos que hay cada més. Esta recibe el nombre de sucesión de Fibonacci.
b) Ahora vas a construir la sucesión que se obtiene al dividir cada término entre el anterior. Esa sucesión verás que se aproxima al número áureo (\phi\;):
\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618033988...

 

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Actividad: Sucesión de Fibonacci


a) ¿Cuál es la sucesión de Fibonacci?
b) ¿Cual es el término 10 de la sucesión de Fibonacci?
c) Escribe los 15 primeros términos de la sucesión de Fibonacci
d) Comprueba que la sucesión {F_n \over F_{n-1}} \; tiende al número áureo, siendo F_n \; la sucesión de Fibonacci?

Ejercicios

Progresiones aritméticas

ejercicio

Problemas: Progresiones aritméticas


1. Comprueba que las sucesiones siguientes son progresiones aritméticas. Calcula la diferencia y el término general de cada una de ellas.

a) 1, -1, -3, -5, -7,.... b) 2, 5, 8, 11, 14,.... c) -7, -5, -3, -1, 1,...
2. Si a_1=0\;\! y d = 3\;\!, en una progresión aritmética, ¿cuánto vale a_8\;\!?
3. Si a_{10}=14\;\! y d = -2\;\!, calcular a_1\;\!.
4. Al excavar tierra para hacer un túnel se pagan 700€ por el primer metro y 95€ de aumento por cada metro sucesivo. ¿Cuánto se pagará por el décimo metro excavado? Calcular el total abonado por los 10 metros excavados.

Progresiones geométricas

ejercicio

Problemas: Progresiones geométricas


1. Comprueba que las sucesiones siguientes son progresiones geométricas. Calcula la razón y el término general de cada una de ellas.

a) 1, 3, 9, 27.... b) 4, -4, 4, -4,.... c) 27, 9, 3, 1,...
2. ¿Cuál es la razón de una progresión geométrica cuyo primer término es 2 y el cuarto término 250?
3. Una persona comunica un secreto a otras 3. Diez minutos después cada una de ellas lo ha comunicado a otras 3 y cada una de estas a otras 3 nuevas en los diez minutos siguientes, y así sucesivamente. ¿Cuántas personas conocen el secreto después de dos horas?

4. Según una leyenda india, el inventor del ajedrez solicitó como recompensa por el invento que se pusiera 1 grano de trigo en la primera casilla del tablero, 2 en la segunda, 4 en la tercera, y así sucesivamente; en cada una el doble que en la anterior. El rey aceptó pero su sorpresa fue grande cuando vio no sólo que no cabían los granos en las casillas sino que no había suficiente trigo en todo el reino para cumplir el compromiso.

Suponiendo que 10 granos de trigo pesan aproximadamente 1 g.¿podrías averiguar cuántos Kg. de trigo solicitó el inventor?

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