Algunos tipos de sucesiones (1ºBach)

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Tabla de contenidos

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija, d\;\!, que llamaremos diferencia.

Por ejemplo:

Imagen:prog_aritmetica.png

es una progresión aritmética con diferencia d=4.

Término general de una progresión aritmética

ejercicio

Término general de una progresión aritmética


Sean a_1, a_2, a_3, ..... \;\!términos de una progresión aritmética de diferencia d\;\!. Entonces, se cumple que:

a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \;\!


Suma de términos de una progresión aritmética

ejercicio

Suma de términos de una progresión aritmética


La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:

S_n=\frac{(a_1+a_n) \cdot n}{2}

Videotutoriales sobre progresiones aritméticas

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, r\;\!, que llamaremos razón

Por ejemplo:

Imagen:prog_geometrica.png

es una progresión geométrica de razón r=2.

Término general de una progresión geométrica

ejercicio

Término general de una progresión geométrica


Sean a_1, a_2, a_3, ..... \;\!términos de una progresión geométrica de razón r\;\!.

Entonces se cumple que:

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}


Suma de términos de una progresión geométrica

ejercicio

Suma de términos de una progresión geométrica


La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:

S_n=\frac{a_1.r^n-a_1}{r-1}

ejercicio

Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica


La suma de todos los términos de una progresión geométrica en la que su razón verifica que 0<\; \mid r \mid \; <1 se obtiene así:

S_{\infty}=\frac{a_1}{1-r}


Producto de términos de una progresión geométrica

ejercicio

Producto de términos de una progresión geométrica


El producto de los n primeros términos de una progresión geométrica es:

P_n=\sqrt{(a_1.a_n)^n}

Videotutoriales sobre progesiones geométricas

Sucesiones de potencias

Una sucesión de potencias es una sucesión de la forma

1, \ 2^m, \ 3^m, \ 4^m, \ 5^m, \ \cdots \ n^m \ \cdots \qquad (m \in \mathbb{N})\;

De ellas las más frecuentes son para los casos m=2 y m=3, que son las sucesiones de cuadrados y de cubos, respectivamente.

ejercicio

Suma de términos de las sucesiónes de cuadrados y cubos


  • La suma de los n primeros términos de una sucesión de cuadrados es
1+2^2+3^2+4^2+5^2+ \cdots +n^2 = \cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
  • La suma de los n primeros términos de una sucesión de cubos es
1+ \ 2^3+3^3+4^3+5^3+ \cdots +n^3 = \cfrac{n^2(n+1)^2}{4}

Sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci se debe a Leonardo de Pisa (Fibonacci), matemático italiano del siglo XIII. Es la siguiente:

1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ \cdots

Es una sucesión recurrente dada por la siguiente relación de recurrencia:

a_1=1,\ a_2=1,\ a_n=a_{n-1}+a_{n-2}

Existe también una fórmula explícita, no recurrente, para el término general:

ejercicio

Término general de la sucesión de Fibonacci


El término general de la sucesión de Fibonacci es:

a_n=\frac{\phi^n-\left(-\phi\right)^{-n}}{\sqrt5}

siendo \phi\; el número áureo.

\phi=\frac{1+\sqrt5}2

Ejercicios

Progresiones aritméticas

ejercicio

Problemas: Progresiones aritméticas


1. Comprueba que las sucesiones siguientes son progresiones aritméticas. Calcula la diferencia y el término general de cada una de ellas.

a) 1, -1, -3, -5, -7,.... b) 2, 5, 8, 11, 14,.... c) -7, -5, -3, -1, 1,...
2. Si a_1=0\;\! y d = 3\;\!, en una progresión aritmética, ¿cuánto vale a_8\;\!?
3. Si a_{10}=14\;\! y d = -2\;\!, calcular a_1\;\!.
4. Al excavar tierra para hacer un túnel se pagan 700€ por el primer metro y 95€ de aumento por cada metro sucesivo. ¿Cuánto se pagará por el décimo metro excavado? Calcular el total abonado por los 10 metros excavados.

Progresiones geométricas

ejercicio

Problemas: Progresiones geométricas


1. Comprueba que las sucesiones siguientes son progresiones geométricas. Calcula la razón y el término general de cada una de ellas.

a) 1, 3, 9, 27.... b) 4, -4, 4, -4,.... c) 27, 9, 3, 1,...
2. ¿Cuál es la razón de una progresión geométrica cuyo primer término es 2 y el cuarto término 250?
3. Una persona comunica un secreto a otras 3. Diez minutos después cada una de ellas lo ha comunicado a otras 3 y cada una de estas a otras 3 nuevas en los diez minutos siguientes, y así sucesivamente. ¿Cuántas personas conocen el secreto después de dos horas?

4. Según una leyenda india, el inventor del ajedrez solicitó como recompensa por el invento que se pusiera 1 grano de trigo en la primera casilla del tablero, 2 en la segunda, 4 en la tercera, y así sucesivamente; en cada una el doble que en la anterior. El rey aceptó pero su sorpresa fue grande cuando vio no sólo que no cabían los granos en las casillas sino que no había suficiente trigo en todo el reino para cumplir el compromiso.

Suponiendo que 10 granos de trigo pesan aproximadamente 1 g.¿podrías averiguar cuántos Kg. de trigo solicitó el inventor?

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