Ecuaciones de una recta en el plano (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Vector de dirección de una recta
2 Ecuación vectorial de la recta
3 Ecuaciones paramétricas de la recta
4 Ecuación continua de la recta
5 Ecuación implícita de la recta
6 Ecuación explícita de la recta
7 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
8 Ecuación punto-pendiente de la recta
9 Estudio "no vectorial" de la recta

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Vector de dirección de una recta

Una recta $r\,$ queda determinada por un punto $P\,$ y un vector $\overrightarrow{d}$ que fije su dirección. A dicho vector lo llamaremos vector de dirección de la recta.
Dos puntos $A\,$ y $B\,$ de una recta determinan un vector de dirección de la misma, $\overrightarrow{AB}$ .

Actividad interactiva: Determinación de una recta

Actividad 1: En esta escena podrás comprobar como una recta queda determinada por un vector de dirección y un punto.

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Mueve, en la figura superior, el punto P y la punta del vector $\overrightarrow{d}$ y observa los cambios:

¿Qué relación hay entre el punto P, el vector $\overrightarrow{d}$ y la recta r?
Visualiza la recta que pasa por el punto (5,-2) y es paralelo al vector (-1,4)
Visualiza la recta paralela al eje de ordenadas y corta al otro en el punto (7,0)

Actividad 2: En esta escena podrás comprobar como una recta queda determinada por dos puntos.

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Observa los diferentes elementos de la figura. Cambia las posiciones de P y Q a (2,-1) y (6,2) respectivamente y observa los cambios

¿Cómo se obtiene el vector direccional de la recta que pasa por dos puntos?

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Ecuación vectorial de la recta

Sea $\mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}$ un sistema de referencia del plano, y sea $r\,$ una recta determinada por un punto $P\,$ y un vector de dirección $\overrightarrow{d}$ . Cualquier punto $X\,$ de la recta queda determinado de la siguiente manera:

$\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t \cdot \overrightarrow{d}$

donde $t \in \mathbb{R}$ es un parámetro que, al variar, va generando los distintos puntos de la recta.

Esta expresión vectorial recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta $r\,$ .

Actividad interactiva: Ecuación vectorial de la recta

Actividad 1: En la siguiente escena veremos como se obtienen los distintos puntos de una recta utilizando su ecuación vectorial.

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Observa la figura e identifica en ella el punto P y su vector de posición $\overrightarrow{OP}$ , el vector direccional $\overrightarrow{d}$ y la relación entre los vectores citados y el $\overrightarrow{OX}$ . Utiliza el deslizador para modificar el valor del parámetro t y observa los cambios:

¿Qué linea trazará el punto X cuando se varía el valor de t?

Ahora pasa a la siguiente escena:

Click aquí si no se ve bien la escena

¿Cuáles son las coordenadas de los puntos P y X de la figura? ¿Y las de los vectores $\overrightarrow{OP}$ , $\overrightarrow{OX}$ , $\overrightarrow{d}$ y $t \cdot \overrightarrow{d}$ ? ¿Qué relación se cumple entre ellas?
Describe cómo cambian esos valores al modificar el valor del parámetro t.
¿Cuáles son las coordenadas del punto X para t=4? ¿Y para t=-1.6? ¿y para t=0?
¿Para qué valor de t se obtiene X=(10,8)? ¿Y X=(-3.5,3.5)?
¿Hay algún valor de t para el que se obtenga X=(4,5)? ¿Por qué?
¿Cuáles son los puntos que sí se pueden conseguir para algún valor de t y cuáles los que no?
¿Qué relación hay entre la pregunta anterior y la la ecuación de la derecha: (x,y)=(1,5)+t(3,1) ?

Modifica la posición de P y $\overrightarrow{d}$ hasta visualizar y obtener la ecuación vectorial de las siguientes rectas:

La recta que pasa por (7,0) y es paralela al vector (1,-2).
La que pasa por el punto (10,0.5) y es paralela al vector (-2,3).
La paralela al eje de abscisas que pasa por (2,4).
La bisectriz del primer y tercer cuadrante.

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Ecuaciones paramétricas de la recta

Ecuaciones paramétricas de la recta con vector de dirección $\overrightarrow{d}(d_1,d_2)$ y que pasa por el punto $P(p_1,p_2)\,$ .

$\begin{cases} x=p_1+ t\cdot d_1 \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \end{cases}$

Deducción:

A partir de la ecuación verctorial de la recta

$\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t \cdot \overrightarrow{d}$

si sustituimos cada vector por sus coordenadas, tenemos:

$(x,y)=(p_1,p_2)+t \cdot (d_1,d_2)$

Igualando coordenada a coordenada, obtenemos las ecuaciones.

Actividad interactiva: Ecuaciones paramétricas de la recta

Actividad 1: En la siguiente escena tenemos la recta con vector de dirección $\overrightarrow{d}(-4,3)$ y que pasa por el punto $P(-4,6)\,$ . Veremos como se obtienen los distintos puntos de una recta utilizando sus ecuaciones paramétricas.

Actividad:

Su ecuación vectorial es:

$(x,y)=(p_1,p_2)+t \cdot (d_1,d_2)=(-4,6)+ t \cdot (-4,3)$

y sus ecuaciones paramétricas:

$\begin{cases} x=-4-4t \\ y=\; \; \; 6+ 3t \end{cases}$

Calcula las coordenadas de los puntos para $t=0, \, 1, \, 2\,$ y compruébalo en la escena:

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Para saber que valor del parámetro $t\,$ genera un determinado punto de la recta, arrastra el punto $Q\,$ hasta el punto de la recta que desees averiguar (o modifica Q.x y Q.y en la escena) y comprueba que valor de $t\,$ resulta. Por ejemplo, comprueba si el punto $Q(-2,4.5)\,$ pertenece o no a la recta.

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Ecuación continua de la recta

Ecuación continua de la recta con vector director $\overrightarrow{d}(d_1,d_2)\quad (d_1 \ne 0; \quad d_2 \ne 0)$ y que pasa por un punto $P(p_1,p_2)\,$ :

$\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{y-p_2}{d_2}$

Deducción:

A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta, despejando el parámetro $t\,$ (siempre y cuando las dos coordenadas del vector $\overrightarrow{d}(d_1,d_2)$ sean distintas de cero), tenemos:

$\begin{cases} x=p_1+ t\cdot d_1 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-p_1}{d_1} \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y-p_2}{d_2} \end{cases}$

Igualando ambos valores de $t\,$ , obtenemos la ecuación.

Ejemplo: Ecuación continua de la recta

Halla la ecuación continua de la recta con vector director $\overrightarrow{d}(-2,3)$ que pasa por el punto $P(5,-7)\,$ .

Solución:

De las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro $t\,$ e igualamos:

$\begin{cases} x=5+ -2t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-5}{-2} \\ y=-7+ 3t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y+7}{3} \end{cases} \quad \rightarrow \quad \cfrac{x-5}{-2}=\cfrac{y+7}{3}$

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Ecuación implícita de la recta

Ecuación implícita de la recta:

$Ax+By+C=0\,$

Deducción:

Partiendo de la ecuación continua de la recta: (suponemos que $d_1 \ne 0$ y $d_2 \ne 0$ )

$\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{y-p_2}{d_2}$

Multiplicando en cruz:

$d_2 \cdot (x-p_1)=d_1 \cdot (y-p_2)$

y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, tenemos:

$d_2 \, x -d_1 \, y -d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2=0$

de donde, haciendo: $A=d_2\,$ , $B=-d_1\,$ y $C=-d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2\,$

se tiene la ecuación.

Antes hemos supuesto $d_1 \ne 0$ y $d_2 \ne 0$ . Si, por el contrario, alguno fuera cero tendríamos:

Si $d_1=0\,$ , las ecuaciones paramétricas serían:

$\begin{cases} x=p_1 \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \end{cases}$

de donde se tiene que la recta es vertical con ecuación $x=p_1\,$ y su ecuación implícita sería $x-p_1=0\,$ .

Si $d_2=0\,$ , las ecuaciones paramétricas serían:

$\begin{cases}x=p_1+td_1 \\ y=p_2 \end{cases}$

de donde se tiene que la recta es horizontal con ecuación $y=p_2\,$ y su ecuación implícita sería $y-p_2=0\,$ .

Ejemplo: Ecuación implícita de la recta

Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por los puntos $A(3,1)\,$ y $B(5,4)\,$ .

Solución:

Primero calculamos su vector de dirección:

$\overrightarrow{AB}=(5,4)-(3,1)=(2,3)$

Obtenemos las ecuaciones paramétricas con ese vector director y con uno de los dos puntos, por ejemplo $A(3,1)\,$ . A partir de éstas obtenemos la ecuación continua:

$\begin{cases} x=3+ 2t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-3}{2} \\ y=1+ 3t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y-1}{3} \end{cases} \quad \rightarrow \quad \cfrac{x-3}{2}=\cfrac{y-1}{3}$

Multiplicando en cruz y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, obtenemos la ecuación implícita:

$3 \, (x-3)=2 \, (y-1) \quad \rightarrow \quad 3x-9=2y-2 \quad \rightarrow \quad 3x-2y-7=0$

Proposición

Dada una recta de ecuación $Ax+By+C=0\,$ :

El vector $(-B,A)\,$ es un vector de dirección de la recta.
El vector $(A,B)\,$ es un vector perpendicular a la recta. Se denomina vector normal a la recta.

Demostración:

Antes vimos, en la deducción de la ecuación explícita, que partiendo de la ecuación continua y haciendo $A=d_2\,$ , $B=-d_1\,$ y $C=-d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2\,$ , se tenía la ecuación implícita $Ax+By+C=0\,$ .

Entonces, el vector $(-B, A)=(d_1,d_2)\,$ , que es el vector director de la recta

Y el vector $(A,B)=(d_2, -d_1)\,$ es perpendicular a la recta porque $(d_2, -d_1)\cdot (d_1,d_2)=0$ , y sabemos que si el producto escalar de dos vectores vale cero, éstos son ortogonales.

Actividad interactiva: Vector normal de una recta

Actividad 1: En la siguiente escena vamos a obtener la ecuación implícita de la recta

$r: \, \begin{cases} x=10+7t \\ y=1-t \end{cases}$

y a partir de ella obtendremos su vector normal.

Actividad:

Partimos de las ecuaciones paramétricas y obtenemos su ecuación continua.

$\begin{cases} x=10+7t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-10}{7} \\ y=\quad 1-t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y-1}{-1} \end{cases} \quad \rightarrow \quad \cfrac{x-10}{7}=\cfrac{y-1}{-1}$

Multiplicando en cruz y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, tenemos su ecuación implícita:

$-1(x-10)=7(y-1) \; \rightarrow \; x+7y-17=0$

Su vector normal es $\overrightarrow{d}(A,B)=(1,7)$ .

Click aquí si no se ve bien la escena

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Ecuación explícita de la recta

Ecuación explícita de la recta:

$y=mx+n\,$

donde $m\,$ se llama pendiente de la recta y $n\,$ ordenada en el origen.

Deducción:

Partiendo de la ecuación implícita

$Ax+By+C\,$

y despejando $y\,$ (siempre que $B \ne 0$ ), tenemos:

$y=-\cfrac{A}{B}x-\cfrac{C}{B}\,$

Llamando $m=-\cfrac{A}{B}$ y $n=-\cfrac{C}{B}$ , tenemos la ecuación.

Ejemplo: Ecuación explícita de la recta

Halla la ecuación explícita de la recta de ecuaciones paramétricas: $\begin{cases} x=1-t \\ y=1+t \end{cases}$

Solución:

Partimos de las ecuaciones paramétricas y obtenemos su ecuación continua.

$\begin{cases} x=1-t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-1}{-1} \\ y=1+2t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y-1}{2} \end{cases} \quad \rightarrow \quad \cfrac{x-1}{-1}=\cfrac{y-1}{2}$

Para obtener la ecuación explícita basta con despejar $y\,$ :

$\cfrac{x-1}{-1}=\cfrac{y-1}{2} \quad \rightarrow \quad 2x-2=-y+1 \quad \rightarrow \quad y=-2x+3$

Actividad interactiva: Ecuación explícita de una recta

Actividad 1: En esta escena podrás comprobar como varía una recta $y=mx+n\,$ al modificar los valores de $m\,$ y $n\,$ .

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Desliza el primer punto verde para modificar el valor de la pendiente m y observa los cambios.

Describe lo que ocure.
¿ué tienen en común y en qué se diferencian todas las rectas con n=3?
¿Por qué crees que se le llama a m "pendiente"? ¿Qué indica su valor?

Vuelve a la gráfica inicial pulsando el botón Actualizar () y prueba a modificar, mediante el segundo deslizador, la ordenada en el origen (n)

Describe lo que ocurre.
¿Qué tienen en común y en qué se diferencian las rectas de ecuación $y= 0'5x+n\,$ ?
¿Por qué crees que se le llama a n "ordenada en el origen"? ¿Qué indica su valor?

Actividad 2: En esta escena podrás comparar rectas con la misma pendiente.

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Observa las tres rectas de la figura:

¿Qué tienen en común y en qué se diferencian? ¿y sus correspondientes ecuaciones?

Mueve los deslizadores y observa los cambios.

Describe lo que ocurre.
¿Cómo son las gráficas de todas las rectas con la misma pendiente (valor de m)?

Actividad 3: En esta escena podrás comparar rectas con la misma ordenada en el origen.

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Observa las tres rectas de la figura:

¿Qué tienen en común y en qué se diferencian? ¿y sus correspondientes ecuaciones?

Mueve los deslizadores y observa los cambios.

Describe lo que ocurre.
¿Cómo son las gráficas de todas las rectas con la misma ordenada en el origen (valor de n)?

Proposición

La pendiente de una recta mide el incremento de la ordenada cuando la abcisa se incrementa en una unidad.
Si $P_1(x_1,y_1)\,$ y $P_2(x_2,y_2)\,$ son dos puntos de la recta, entonces su pendiente es $m=tg \, \alpha =\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
El vector de coordenadas $(1,m)\,$ es un vector de dirección de la recta.

Demostración:

1. Sean $P_1(x_1,y_1)\,$ y $P_2(x_2,y_2)\,$ , dos puntos de la rectan y tomemos $x_2=x_1+1\,$ .

Sus abcisas $x_1\,$ y $x_2=x_1 +1\,$ difieren en 1.

Veamos sus ordenadas en cuanto difieren:

$y_2-y_1 = m(x_1+1) + n -(mx_1+n) = mx_1+m +n - mx_1-n = m\,$

2. Por la definición de tangente de un ángulo:

$tg \, \alpha =\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\cfrac{y_2-y_1}{x_1+1-x_1}=\cfrac{m}{1}=m$

3. En la deducción de la ecuación explícita vimos que $m=-\cfrac{A}{B}$ , entonces:

$(1,m)=(1, -\cfrac{A}{B})$

Si multiplicamos ambas coordenadas por $-B\,$ , obtenemos otro vector con la misma dirección:

$-B \cdot (1, -\cfrac{A}{B})=(-B,A)$

Pero en una proposición anterior vimos que el vector $(-B,A)\,$ era el vector de dirección de la recta.

Actividad interactiva: Pendiente de una recta

Actividad 1: En la siguiente escena puedes comprobar la segunda de las proposiciones anteriores sobre la pendiente de la recta que pasa por dos puntos.

Actividad:

Toma nota de las coordenadas de los puntos $P_1\,$ y $P_2\,$ y calcula la pendiente con la fórmula: $m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Comprueba los resultados en la siguiente escena:

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Prueba a cambiar los valores en la escena para obtener otros puntos. Por ejemplo, con los puntos $P_1(-2,5)\,$ y $P_2(1,-1)\,$ , calcula la pendiente y comprueba los resultados.

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Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Sabemos que dos puntos determinan un vector de dirección. Con ese vector de dirección y uno de los dos puntos podemos obtener la ecuación de la recta.

Actividad interactiva: Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Actividad 1: En esta escena podrás comprobar como una recta queda determinada por dos puntos y ver sus distintas ecuaciones.

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Observa los diferentes elementos de la figura. Cambia las posiciones de P y Q a (2,-1) y (6,2) respectivamente y observa los cambios

¿Cómo se obtiene el vector direccional de la recta que pasa por dos puntos?
¿Y su ecuación?
¿Cuál será la ecuación explícita de la recta anterior?

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Ecuación punto-pendiente de la recta

Ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(x_0,y_0)\,$ y tiene pendiente $m\,$

$y=y_0+m(x-x_0)\,$

Deducción:

Partimos de la ecuación explícita

$y=mx+n\,$

Sustituimos el punto $P(x_0,y_0)\,$ en la ecuación y despejamos $n\,$ :

$y_0=mx_0+n \quad \rightarrow \quad n=y_0-mx_0$

Sustituimos este valor de $n\,$ en la ecuación explícita y sacamos factor común $m\,$ :

$y=mx+y_0-mx_0 \quad \rightarrow \quad y=y_0+m(x-x_0)$

Actividad interactiva: Ecuación punto-pendiente de la recta

Actividad 1: En la siguiente escena vamos a hallar la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos $A(-3,1)\,$ y $B(7,6)\,$ .

Actividad:

Primero calculamos la pendiente:

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\cfrac{6-1}{7+3}=\cfrac{1}{2}$

Con esta pendiente y uno de los puntos, por ejemplo, $A(-3,1)\,$ , obtenemos la ecuación punto-pendiente:

$y=y_0 + m \, (x-x_0) \; \rightarrow \, y=1 + \cfrac{1}{2} \, (x+3)$

Comprueba los resultados en la siguiente escena:

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Practica con otros pares de puntos y compruébalos en la escena.

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Estudio "no vectorial" de la recta

Las rectas (18'28") Sinopsis:

La función lineal.
Representación gráfica de una recta a partir de su ecuación.
Pendiente de una recta.
Representación gráfica de una recta a partir de su pendiente y de un punto por el que pasa.
Rectas perpendiculares al eje de abscisas.

Recta que pasa por dos puntos conocidos (16'01") Sinopsis:

Deducción geométrica de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
Ejemplos.

Recta que pasa por punto conocido con pendiente conocida (3'49") Sinopsis:

Deducción geométrica de la ecuación de la recta que pasa por un punto dado con pendiente dada.
Ejemplos.

Recta con otras notaciones (5'26") Sinopsis:

Distintas formas de escribir la ecuación de la recta.
Ejemplos.

Paralelismo y perpendicularidad de rectas (9'59") Sinopsis:

Rectas paralelas: relación entre sus pendientes. Ejemplos y problemas.
Rectas perpendiculares: relación entre sus pendientes. Ejemplos y problemas.

Tasa de variación de una recta (6'50") Sinopsis:

Cálculo de la tasa de variación de una recta.
Ejemplos

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Categorías: Matemáticas | Geometría

Ecuaciones de una recta en el plano (1ºBach)

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Ecuación vectorial de la recta

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