Ecuaciones de una recta en el plano (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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Vector de dirección de una recta

  • Una recta r\, queda determinada por un punto P\, y un vector \overrightarrow{d} que fije su dirección. A dicho vector lo llamaremos vector de dirección de la recta.
  • Dos puntos A\, y B\, de una recta determinan un vector de dirección de la misma, \overrightarrow{AB}.

Ecuación vectorial de la recta

Sea \mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\} un sistema de referencia del plano, y sea r\, una recta determinada por un punto P\, y un vector de dirección \overrightarrow{d}. Cualquier punto X\, de la recta queda determinado de la siguiente manera:

\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PX}

y como \overrightarrow{PX} tiene la misma dirección que \vec{d}:

\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t \cdot \overrightarrow{d}

donde t \in \mathbb{R} es un parámetro que, al variar, va generando los distintos puntos de la recta.

Esta expresión vectorial recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta r\,.

Ecuaciones paramétricas de la recta

Ecuaciones paramétricas de la recta con vector de dirección \overrightarrow{d}(d_1,d_2) y que pasa por el punto P(p_1,p_2)\,.


\begin{cases} x=p_1+ t\cdot d_1 \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \end{cases}

ejercicio

Ejemplo: Ecuaciones paramétricas de la recta


Halla las ecuaciones paramétricas de la recta con vector director \overrightarrow{d}(-2,3) que pasa por el punto P(5,-7)\,.

Ecuación continua de la recta

Ecuación continua de la recta con vector director \overrightarrow{d}(d_1,d_2)\quad (d_1 \ne 0; \quad d_2 \ne 0) y que pasa por un punto P(p_1,p_2)\,:


\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{y-p_2}{d_2}

ejercicio

Ejemplo: Ecuación continua de la recta


Halla la ecuación continua de la recta con vector director \overrightarrow{d}(-2,3) que pasa por el punto P(5,-7)\,.

Ecuación implícita o general de la recta

Ecuación implícita o general de la recta:

Ax+By+C=0\,

ejercicio

Ejemplo: Ecuación implícita de la recta


Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por los puntos A(3,1)\, y B(5,4)\,.

ejercicio

Proposición


Dada una recta de ecuación Ax+By+C=0\,:

  • El vector (-B,A)\, es un vector de dirección de la recta.
  • El vector (A,B)\, es un vector perpendicular a la recta que se denomina vector normal a la recta.

Ecuación explícita de la recta

Ecuación explícita de la recta:

y=mx+n\,

donde m\, se llama pendiente de la recta y n\, ordenada en el origen.

ejercicio

Ejemplo: Ecuación explícita de la recta


Halla la ecuación explícita de la recta de ecuaciones paramétricas:\begin{cases} x=1-t  \\ y=1+t  \end{cases}

ejercicio

Proposición


  1. La pendiente de una recta mide el incremento de la ordenada cuando la abcisa se incrementa en una unidad.
  2. Si P_1(x_1,y_1)\, y P_2(x_2,y_2)\, son dos puntos de la recta, entonces su pendiente es m=tg \, \alpha =\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
  3. El vector de coordenadas (1,m)\, es un vector de dirección de la recta.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Sabemos que dos puntos determinan un vector de dirección. Con ese vector de dirección y uno de los dos puntos podemos obtener la ecuación de la recta.

Ecuación punto-pendiente de la recta

Ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto P(x_0,y_0)\, y tiene pendiente m\,


y=y_0+m(x-x_0)\,


ejercicio

Ejemplo: Ecuación punto-pendiente de la recta


Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos A(5,-1) y B(7,4).

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ecuaciones de la recta en el plano


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1a,c,d, 2, 3

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1

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