Ecuaciones de una recta en el plano (1ºBach)

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Tabla de contenidos

Vector de dirección de una recta

  • Una recta r\, queda determinada por un punto P\, y un vector \overrightarrow{d} que fije su dirección. A dicho vector lo llamaremos vector de dirección de la recta.
  • Dos puntos A\, y B\, de una recta determinan un vector de dirección de la misma, \overrightarrow{AB}.

ejercicio

Actividad interactiva: Determinación de una recta


Actividad 1: En esta escena podrás comprobar como una recta queda determinada por un vector de dirección y un punto.

Actividad 2: En esta escena podrás comprobar como una recta queda determinada por dos puntos.

Ecuación vectorial de la recta

Sea \mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\} un sistema de referencia del plano, y sea r\, una recta determinada por un punto P\, y un vector de dirección \overrightarrow{d}. Cualquier punto X\, de la recta queda determinado de la siguiente manera:

\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t \cdot \overrightarrow{d}

donde t \in \mathbb{R} es un parámetro que, al variar, va generando los distintos puntos de la recta.

Esta expresión vectorial recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta r\,.

ejercicio

Actividad interactiva: Ecuación vectorial de la recta


Actividad 1: En la siguiente escena veremos como se obtienen los distintos puntos de una recta utilizando su ecuación vectorial.

Ecuaciones paramétricas de la recta

Ecuaciones paramétricas de la recta con vector de dirección \overrightarrow{d}(d_1,d_2) y que pasa por el punto P(p_1,p_2)\,.


\begin{cases} x=p_1+ t\cdot d_1 \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \end{cases}

ejercicio

Actividad interactiva: Ecuaciones paramétricas de la recta


Actividad 1: En la siguiente escena tenemos la recta con vector de dirección \overrightarrow{d}(-4,3) y que pasa por el punto P(-4,6)\,. Veremos como se obtienen los distintos puntos de una recta utilizando sus ecuaciones paramétricas.

Ecuación continua de la recta

Ecuación continua de la recta con vector director \overrightarrow{d}(d_1,d_2)\quad (d_1 \ne 0; \quad d_2 \ne 0) y que pasa por un punto P(p_1,p_2)\,:


\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{y-p_2}{d_2}

ejercicio

Ejemplo: Ecuación continua de la recta


Halla la ecuación continua de la recta con vector director \overrightarrow{d}(-2,3) que pasa por el punto P(5,-7)\,.

Ecuación implícita de la recta

Ecuación implícita de la recta:

Ax+By+C=0\,

ejercicio

Ejemplo: Ecuación implícita de la recta


Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por los puntos A(3,1)\, y B(5,4)\,.

ejercicio

Proposición


Dada una recta de ecuación Ax+By+C=0\,:

  • El vector (-B,A)\, es un vector de dirección de la recta.
  • El vector (A,B)\, es un vector perpendicular a la recta. Se denomina vector normal a la recta.

ejercicio

Actividad interactiva: Vector normal de una recta


Actividad 1: En la siguiente escena vamos a obtener la ecuación implícita de la recta

r: \,  \begin{cases} x=10+7t  \\ y=1-t  \end{cases}

y a partir de ella obtendremos su vector normal.

Ecuación explícita de la recta

Ecuación explícita de la recta:

y=mx+n\,

donde m\, se llama pendiente de la recta y n\, ordenada en el origen.

ejercicio

Ejemplo: Ecuación explícita de la recta


Halla la ecuación explícita de la recta de ecuaciones paramétricas:\begin{cases} x=1-t  \\ y=1+t  \end{cases}

ejercicio

Actividad interactiva: Ecuación explícita de una recta


Actividad 1: En esta escena podrás comprobar como varía una recta y=mx+n\, al modificar los valores de m\, y n\,.

Actividad 2: En esta escena podrás comparar rectas con la misma pendiente.

Actividad 3: En esta escena podrás comparar rectas con la misma ordenada en el origen.

ejercicio

Proposición


  1. La pendiente de una recta mide el incremento de la ordenada cuando la abcisa se incrementa en una unidad.
  2. Si P_1(x_1,y_1)\, y P_2(x_2,y_2)\, son dos puntos de la recta, entonces su pendiente es m=tg \, \alpha =\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
  3. El vector de coordenadas (1,m)\, es un vector de dirección de la recta.

ejercicio

Actividad interactiva: Pendiente de una recta


Actividad 1: En la siguiente escena puedes comprobar la segunda de las proposiciones anteriores sobre la pendiente de la recta que pasa por dos puntos.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Sabemos que dos puntos determinan un vector de dirección. Con ese vector de dirección y uno de los dos puntos podemos obtener la ecuación de la recta.

ejercicio

Actividad interactiva: Ecuación de la recta que pasa por dos puntos


Actividad 1: En esta escena podrás comprobar como una recta queda determinada por dos puntos y ver sus distintas ecuaciones.

Ecuación punto-pendiente de la recta

Ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto P(x_0,y_0)\, y tiene pendiente m\,


y=y_0+m(x-x_0)\,


ejercicio

Actividad interactiva: Ecuación punto-pendiente de la recta


Actividad 1: En la siguiente escena vamos a hallar la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos A(-3,1)\, y B(7,6)\,.

Estudio "no vectorial" de la recta

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