Expresión decimal de los números reales. Aproximaciones (1ºBS)

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Expresión decimal de los números reales

Cuando escribimos el número 3\sqrt2 queda reflejado con total precisión de que número estamos hablando. Este número, tan sencillo de expresar con radicales, tiene, sin embargo, una expresión decimal que consta de infinitas cifras (4.2426406871192851464050661726291...). En la práctica, muchas veces es preferida la expresión decimal aproximada, con una cantidad reducida de cifras decimales (4.24), aunque ésta sea imprecisa, porque resulta más fácil captar su valor que expresándolo con radicales.

Aproximaciones

  • Cuando un número tiene muchas cifras, es difícil recordarlo y operar con él. Por eso lo solemos sustituir por otro más manejable de valor similar, prescindiendo de sus últimas cifras, que sustituimos por ceros. Ese otro número más sencillo decimos que es una aproximación del número de partida.

  • Cuando aproximamos un número, nos quedamos con sus primeras cifras y completamos con ceros. Esas cifras, con las que nos quedamos, se llaman cifras significativas.
  • Llamamos orden de la aproximación, a la posición hasta la que nos quedamos con cifras significativas.
  • Se puede aproximar por defecto si el número utilizado es menor que el de partida, o por exceso si el número utilizado es mayor que el de partida.

ejercicio

Ejemplo: Aproximaciones


Aproxima por defecto y por exceso los siguientes números:

a) 263825 con 2 cifras significativas.
b) 6035192 con 1 cifra significativa.
c) 60,35 con 3 cifras significativas.

Redondeo

Para redondear un número a un determinado orden de unidades:

  1. Se sustituyen por ceros todas las cifras a la derecha de dicho orden
  2. Si la primera cifra sustituida es mayor o igual que cinco se suma una unidad a la cifra anterior

ejercicio

Ejemplo: Redondeo


Redondea los siguientes números:

a) 27640,342 a la centena.
b) 3857,567 a la décima.
c) 24572,2578 a la unidad de millar.

Truncamiento

Para truncar un número a un determinado orden de unidades se sustituyen por ceros todas las cifras a la derecha de dicho orden.

ejercicio

Ejemplo: Truncamiento


Trunca los siguientes números :

a) 27630,24578 a la milésima.
b) 3851,34 a la unidad.
c) 12345621,2 a la decena de millar.

Errores

Cuando damos una cantidad de forma aproximada, cometemos un error. Distinguiremos los siguientes tipos de errores:

Error absoluto

El error absoluto es la diferencia entre el valor real y el aproximado, en valor absoluto, es decir, siempre con signo positivo.

Error \ Absoluto= |Valor \ real - Valor \ aproximado|

ejercicio

Ejemplo: Error absoluto


Una montaña mide 2475 m. Redondea la altura a las centenas y halla el error absoluto cometido:

Error relativo

El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto.

Error \ relativo= \cfrac {Error \ absoluto}{Valor \ real}

ejercicio

Ejemplo: Error relativo


Una montaña mide 2475 m. Trunca la altura a las centenas y halla el error relativo cometido:

ejercicio

Actividades Interactivas: Errores


1. Ejemplos sobre aproximaciones de fracciones y los errores cometidos.
2. Ejercicios sobre aproximaciones de fracciones y los errores cometidos.

Cota del error

Para que la cantidad aproximada que utilizamos sea fiable, el error cometido debe estar controlado o acotado de manera que:

Error Absoluto<k \quad \acute{o} \quad Error Relativo<k'

Los números k y k' se llaman cotas del error absoluto o relativo, respectivamente.

Redondeo y cota del error

Al redondear, podemos dar una cota del error absoluto de la siguiente manera:

Error \ absoluto < c

donde c = 5 unidades del orden de la primera cifra no utilizada en el redondeo.

Y una cota del error relativo:

Error \ relativo < \cfrac{c}{Valor \, real}

ejercicio

Ejemplo: Cota del error


En el ejemplo anterior de la montaña que mide 2475 m, halla la cota de los errores absoluto y relativo cometidos en el redondeo a las centenas.



Notación científica

Trabajar con números muy grandes o muy pequeños resulta engorroso. Por eso debemos aprender a escribir estos números de una forma más abreviada y que resulte más cómoda.

Esta forma de escribirlos es lo que llamaremos notación científica, cuestión que pasaremos a explicar a continuación.

Un número está en notación científica si aparece expresado de la forma:

a \cdot 10^n

donde a \;\! es un número con 1 cifra entera distinta de cero y un número cualquiera de decimales.

ejercicio

Actividades Interactivas: Notación científica


1. Distintos ejemplos de números en notación científica.
2. ¿Está escrito en notación científica?
3. Secretos del Universo

La notación científica en la calculadora

La mayoría de las calculadoras expresan los números en notación científica omitiendo la potencia de 10, mostrando sólo el número que va multiplicando delante del 10 y el exponente.

La siguiente actividad te ayudará a entenderlo:

ejercicio

Actividade Interactiva: Notación científica con calculadora


1. Interpretando la notación científica en la calculadora.
Calculadora

Calculadora: Notación científica


Para introducir un número en notación científica usaremos la tecla Notación científica.

Nota: El modo SCI hace que la calculadora trabaje en notación científica, con la cantidad de cifras significativas que le indiquemos al activarlo.

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