Factorización de polinomios (4ºESO Académicas)

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1 Factorización de polinomios

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Factorización de polinomios

Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.

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Factorización de polinomios de grado 2

Factorización de polinomios de segundo grado

Un polinomio de segundo grado, $kx^2+mx+n\;$ , con raíces rales, $a\;$ y $b\;$ , se puede factorizar de la forma

$k(x-a)(x-b)\;$

Ejemplos: Factorización de polinomios de segundo grado y reducibles

Factoriza los siguientes polinomios

a) $5x^2+5x-60\;$

b) $5x^3+5x^2-60x\;$

Solución:[Mostrar]

Factorización de polinomios de grado 2 [Mostrar]

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Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2

Procedimiento para factorizar polinomios

Siempre que se pueda, sacaremos $x\;$ factor común.
Mediante la regla de Ruffini podremos buscar las raíces enteras o fraccionarias del polinomio y obtener la factorización.

Un polinomio de grado mayor que 2 no pueda factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con los conocimientos que tenemos.

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Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini

Factorización de un polinomio por Ruffini

Para factorizar un polinomio mediante la regla de Ruffini, aplicaremos ésta sucesivamente, utilizando como candidatos a raíces enteras, los divisores del término independiente y como candidatos a raices fraccionarias, las que resultan de dividir los divisores del término independiente entre los divisores del término de mayor grado.

Nota: [Mostrar]

Ejemplo: Regla de Ruffini

Factoriza el siguiente polinomio:

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2\,\!$

Solución:[Mostrar]

Primero sacamos factor común $3x^2\,\!$ :

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 = 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70)\,\!$

Ahora aplicamos Ruffini. Los divisores de $70\,\!$ son $1,\ -1,\ 2,\ -2,\ 5,\ -5,\ \mbox{etc.}\,\!$

Empezaremos probando con el 1:

   | 1  -1  -39  109  -70
   |                   
  1|     1    0  -39   70
 --|----------------------
   | 1   0  -39   70  |0
                      |____

Como el resto es cero, hemos encontrado una de las raíces, $x=1\;$ y uno de los factores $(x-1)\;$ .

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!$

$= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70)=\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!$

Seguimos aplicando Ruffini. Probamos con 1, de nuevo ya que podría repetirse dicha raíz:

   | 1   0  -39   70
   |                   
  1|     1    1   38
 --|-----------------
   | 1   1   38 |108
                |____

El resto es diferente de cero con lo que tenemos que seguir probando, con el -1:

   | 1   0  -39   70
   |                   
 -1|    -1    1   38
 --|-----------------
   | 1  -1  -38 |108
                |____

El resto vuelve a ser diferente de cero, probamos con 2:

   | 1  0  -39   70
   |                   
  2|    2    4  -70
 --|----------------
   | 1  2  -35   |0
                 |____

Ya hemos encontrado otra raíz, $x=2\;$ , y el factor correspondiente, $(x-2)\;$ .

El polinomio quedará de la siguiente forma:

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!$

$= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70)=\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x-2)(x^2+2x-35)\,\!$

Finalmente para encontrar las dos últimas raíces utilizamos la fórmula de la ecuación de 2º grado:

$x^2+2x-35=0 \rightarrow x=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 -4 \cdot (-35)}}{2}=\frac{-2 \pm 12}{2}=\begin{cases} x_1=-7 \\ x_2=5 \end{cases}$

Así, sus raíces son 5 y -7 y sus factores (x-5) y (x+7).

De esta manera:

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!$

$= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70=\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x-2)(x^2+2x-35)\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x-2)(x-5)(x+7)\,\!$

Con lo que queda descompuesto el polinomio.

Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini [Mostrar]

Tutorial 1 (26'17") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2 (9´55") Sinopsis: [Mostrar]

Tutorial 3 (9'19") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 1 (11´14") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 2 (9´29") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 3 (9´36") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 4 (9´27") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 5 (8'59") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 6 (9'25") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 7 (8'14") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 8 (7'01") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 9 (8'01") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 10 (8'01") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 11 (8'33") Sinopsis: [Mostrar]

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Factorización de polinomios

(Pág. 43)

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Factorización de polinomios (4ºESO Académicas)

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Factorización de polinomios

Factorización de polinomios de grado 2

Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2

Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini

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