Figuras semejantes. Escala (PACS)

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Tabla de contenidos

Figuras semejantes

De manera intuitiva, dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, pero el tamaño es diferente.

Matematicamente, dos figuras semejantes cumplen:

  1. Los ángulos correspondientes son iguales (misma forma).
  2. Los segmentos correspondientes son proporcionales.

Se llama razón de semejanza o escala, r\;\!, al cociente entre dos longitudes correspondientes.

ejercicio

Actividad Interactiva: Figuras semejantes


1. Comprueba las propiedades de dos figuras semejantes.

Escala

Ya hemos visto antes que escala y razón de semejanza significan lo mismo. El término escala suele utilizarse en planos o mapas. Así, por ejemplo, decimos que un plano está a escala 1:100 si 1 cm en el plano son 100 cm en la realidad. Es lo mismo que decir que la razón de semejanza entre la figura dibujada y la real es r=\cfrac{1}{100}.

ejercicio

Actividad Interactiva: Escalas


Actividad 1: Las dimensiones de una casa.
Actividad 2: Problemas.
Actividad 3: Una casa grande.
Actividad 4: Distancia real y distancia en el plano.
Actividad 5: Mapas.

Triángulos semejantes

Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma. En tal caso cumplen que:

1. Los ángulos correspondientes son iguales:

\widehat{A}=\widehat{A}',\ \widehat{B}=\widehat{B}',\ \widehat{C}=\widehat{C}'

2. Los segmentos correspondientes son proporcionales:

\frac {\overline{A'B'}} {\overline{AB}} = \frac {\overline{A'C'}} {\overline{AC}} = \frac {\overline{B'C'}} {\overline{BC}}=r

donde r\;\!, se la razón de semejanza.

Teorema de Tales

ejercicio

Teorema de Tales


Dos rectas d y d', que se cortan en un punto O, cortadas por rectas paralelas AB y A'B', determinan segmentos proporcionales:

\frac {\overline{OA'}} {\overline{OA}} = \frac {\overline{OB'}} {\overline{OB}}

Triángulos en la posición de Tales

Dos triángulos ABC y A'B'C', con sus lados paralelos y encajados con un vértice común, se dice que están en la posición de Tales
Imagen:triangulos_tales.png

ejercicio

Triángulos en la posición de Tales


Dos triángulos son semejantes si y sólo si están en la posición de Tales.

Criterios de semejanza de triángulos

ejercicio

Criterios de semejanza de triángulos


  1. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales: \widehat{A}=\widehat{A}',\ \widehat{B}=\widehat{B}'
  2. Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido: \frac {a}{a'} = \frac {b}{b'} \ , \ \widehat{C}=\widehat{C}'
  3. Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales: \frac {a}{a'} = \frac {b}{b'} = \frac {c}{c'}

Aplicaciones de los criterios de semejanza

ejercicio

Actividad Interactiva: Aplicaciones de los criterios de semejanza


Actividad 1: Cálculo de la altura conocida la sombra.
Actividad 2: Halla la altura de un árbol con la ayuda de un espejo y una cinta métrica.
Actividad 3: Semejanza en triángulos rectángulos.

Áreas y volúmenes de figuras semejantes

La relación entre el área A1, el volumen V1 de una figura F1, semejante a otra F2 de área A2 y volumen V2 y con razón de semejanza r es:

\cfrac{A_1}{A_2}= r^2 ; \cfrac{V_1}{V_2}= r^3


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