Funciones Cuadráticas (PACS)

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Definición

Una función cuadrática es la que corresponde a un polinomio en x de segundo grado, según la forma:

f(x) = ax^2 + bx + c \,

donde a, b y c son constantes y a distinto de 0.

La representación gráfica en el plano xy haciendo:

y = f(x) \,

esto es:

y = ax^2 + bx + c \,

es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.

Estudio de la función

Corte con el eje y

La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

y = f(0) = a * 0^2 + b * 0 + c \,

lo que resulta:

y = f(0) = c \,

la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el termino independiente de la función.

Corte con el eje x

La función corta al eje x cuando y vale 0:

ax^2 + bx + c = 0 \,

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen como es sabido por la expresión:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}

donde:

(b^2 - 4 a c) \,

se le llama discriminante, D:

D = b^2 - 4 a c \,

según el signo del discriminante podemos distinguir:

  • D > 0

La ecuación tiene dos soluciones, por tanto la parábola cortara al eje x en dos puntos: \ x_1 \ , \ x_2

  • D = 0

La ecuación tiene una solución, la parábola solo tiene un punto en común con el eje x, en la cual es tangente a este eje donde las dos ramas de la parábola confluyen.

  • D < 0

La ecuación no tiene solución real, y la parábola no corta al eje x.

Extremos relativos

Para localizar los extremos relativos, se calcula x:

x = \frac{-b}{2a}

En la vertical que pasa por este valor de x se encontrara el valor máximo o mínimo de la función.

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