Logaritmos (1ºBach)

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Logaritmos

Dado un número real a>0 \quad (a \ne 1), se define el logaritmo en base a de un número real P\;, y se designa log_a \ P, al exponente x\; al que hay que elevar la base a\; para obtener P\;, es decir:

log_a \ P=x \iff a^x=P

Por consiguiente, podemos ver al logaritmo como la operación inversa de la potenciación.

ejercicio

Ejemplos: Logaritmos


Calcula los siguientes logaritmos: log_2 \ 16,\ log_{10} \ 1000,\ log_2 \ \cfrac{1}{8}, \ log_{10} \ 0.01

Propiedades de los logaritmos

Propiedades consecuencia directa de la definición de logaritmo:

1: Logaritmo de la base:
a) log_a \ a=1
b) log_a \ a^n=n
2: Logaritmo de 1:
log_a \ 1=0
3: Logaritmo de números negativos o nulos:
Si P \le 0, entonces log_a \ P no existe.


Otras propiedades:

4: Igualdad y orden:
a) P \ne Q \Rightarrow log_a \ P \ne log_a \ Q
b) P < Q \Rightarrow log_a \ P < log_a \ Q, \quad \forall a>1
5: Logaritmo de un producto:
log_a \ (P \cdot Q)=log_a \ P + log_a \ Q
6: Logaritmo de un cociente:
log_a \ \cfrac{P}{Q}=log_a \ P - log_a \ Q
7: Logaritmo de una potencia:
log_a \ P^n=n \cdot log_a \ P
8: Logaritmo de una raíz:
log_a \ \sqrt[n]{P}=\cfrac{1}{n} \cdot log_a \ P
9: Cambio de base:
log_a \ P=\cfrac{log_b \ P}{log_b \ a}

Logaritmos decimales

Los logaritmos decimales son aquellos de base 10. En vez de representarlos por log_{10}\;, los representaremos, simplemente, por log\;. Esto es:

log_{10} \ P=log \ P

Calculadora

Calculadora

Calculadora: Logaritmo decimal


Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla Logaritmo decimal.

Antes de la existencia de las calculadoras, los logaritmos decimales se obtenían a partir de las llamadas tablas logarítmicas.

Haciendo uso de la propiedad del cambio de base, vista en un apartado anterior, podemos calcular logaritmos en cualquier base utilizando logaritmos decimales. He aquí un ejemplo:

ejercicio

Ejemplo: Cambio de base


Usa la calculadora para hallar log_2 \ 15.

Logaritmos neperianos

Los logaritmos neperianos o logaritmos naturales son aquellos de base e (número e: 2.71828...). En vez de representarlos por log_{e}\;, los representaremos, simplemente, por ln\;. Esto es:

log_{e} \ P=ln \ P

Deben su nombre a Neper, matemático escocés, que los inventó en 1614.

Calculadora

Calculadora

Calculadora: Logaritmo neperiano


Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla Logaritmo neperiano.

Videotutoriales sobre logaritmos

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