Logaritmos (1ºBach)

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Tabla de contenidos

Logaritmos

(pág. 34)

Sea a \in \mathbb{R}^+~,~(a \ne 1). Se define el logaritmo en base a de un número real P\;, y se designa log_a \ P, al exponente x\; al que hay que elevar la base a\; para obtener P\;, es decir:

log_a \ P=x \iff a^x=P

Por consiguiente, podemos ver al logaritmo como la operación inversa de la potenciación.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Logaritmos


Hallar los siguientes logaritmos reconociendo la potencia correspondiente: log_3 \ 81,\ log_{10} \ 0.01,\ log_5 \ 0.2, \ log_2 \ 0.125

Propiedades de los logaritmos

(pág. 34)

ejercicio

Propiedades de los logaritmos:


1: Logaritmo de la base:
a) log_a \ a=1
b) log_a \ a^n=n
2: Logaritmo de 1:
log_a \ 1=0
3: Logaritmo de números negativos o nulos:
Si P \le 0, entonces log_a \ P no existe.
4: Igualdad y orden:
a) P \ne Q \Rightarrow log_a \ P \ne log_a \ Q o equivalentemente, log_a \ P = log_a \ Q \Rightarrow P=Q
b) P < Q \Rightarrow log_a \ P < log_a \ Q, \quad si~ a>1
c) P < Q \Rightarrow log_a \ P > log_a \ Q, \quad si~ 0<a<1
5: Logaritmo de un producto:
log_a \ (P \cdot Q)=log_a \ P + log_a \ Q
6: Logaritmo de un cociente:
log_a \ \cfrac{P}{Q}=log_a \ P - log_a \ Q
7: Logaritmo de una potencia:
log_a \ P^n=n \cdot log_a \ P
8: Logaritmo de una raíz:
log_a \ \sqrt[n]{P}=\cfrac{1}{n} \cdot log_a \ P
9: Cambio de base:
log_a \ P=\cfrac{log_b \ P}{log_b \ a}

(pág. 36)

ejercicio

Ejercicios resueltos: Propiedades de los logaritmos


Sabiendo que log_2 \ A=3.5 \ y \ log_2 \ B=-1.4, calcula:
a) log_2 \ \cfrac{A \cdot B}{4}
b) log_2 \ \cfrac{2 \sqrt{A}} {B^3}

Logaritmos decimales

(pág. 35)

Los logaritmos decimales son aquellos de base 10. En vez de representarlos por log_{10}\;, los representaremos, simplemente, por log\;. Esto es:

log_{10} \ P=log \ P

Calculadora

Calculadora

Calculadora: Logaritmo decimal


Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla Logaritmo decimal.

Antes de la existencia de las calculadoras, los logaritmos decimales se obtenían a partir de las llamadas tablas logarítmicas.

Haciendo uso de la propiedad del cambio de base, vista en un apartado anterior, podemos calcular logaritmos en cualquier base utilizando logaritmos decimales. He aquí un ejemplo:

wolfram

Actividad: Logaritmos


a) Calcula: log \ 0.1, \ log_2 \ {16}, \ ln \ {e^2}.
b) Averigua la relación entre x e y sabiendo que ln y = x + ln \ 7 \;.

(pág. 35)

ejercicio

Ejemplo: Cambio de base


Usa la calculadora para hallar log_2 \ 11.

Logaritmos neperianos

(pág. 35)

Los logaritmos neperianos o logaritmos naturales son aquellos de base e (número e: 2.71828...). En vez de representarlos por log_{e}\;, los representaremos, simplemente, por ln\;. Esto es:

log_{e} \ P=ln \ P

Deben su nombre a Neper, matemático escocés, que los inventó en 1614.

Calculadora

Calculadora

Calculadora: Logaritmo neperiano


Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla Logaritmo neperiano.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Propiedades de los logaritmos


Averiguar la relación que hay entre x e y, sabiendo que se verifica: ln \ y=x+ ln \ 7

Ejercicios

(pág. 36)

ejercicio

Ejercicios propuestos: Logaritmos


1. Halla:

a) log_2 \ 16    b) log_2 \ 0.25    c) log_9 \ 1    d) log \ 0.1    e) log_4 \ 64    f) log_7 \ 49    g) ln \ e^4    h) ln \ e^{-\frac{1}{4}}    i) log_5 \ 0.04    j) log_6 \ \left ( \cfrac{1}{216} \right )

3. Aplica la propiedad 8 para obtener los siguientes logaritmos con la ayuda de la calculadora:

a) log_2 \ 1500    b) log_5 \ 200    

4. Sabiendo que log_5 \ A=1.8 \ y \ log_5 \ B=2.4, calcula:

a) log_5 \sqrt[3]{\frac{A^2}{25B}}    b) log_5 \frac{5\sqrt{A^3}}{B^2}    


5. Averigua la relación que hay entre x e y, sabiendo que se verifica: ln \ y=2x - ln \ 5
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