Logaritmos (1ºBach)

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Tabla de contenidos

Logaritmos

(pág. 37)

Sea a \in \mathbb{R}^+~,~(a \ne 1). Se define el logaritmo en base a de un número real P\;, y se designa por log_a \ P, al exponente x\; al que hay que elevar la base a\; para obtener P\;, es decir:

log_a \ P=x \iff a^x=P

Por consiguiente, podemos ver al logaritmo como la operación inversa de la potenciación.

(pág. 38)

ejercicio

Ejercicios resueltos: Logaritmos


Hallar los siguientes logaritmos reconociendo la potencia correspondiente:

log_3 \ 81,\ log_{10} \ 0.01,\ log_5 \ 0.2, \ log_2 \ 0.125

Propiedades de los logaritmos

(pág. 37)

ejercicio

Propiedades de los logaritmos:


1: Igualdad y orden:

a) P \ne Q \Rightarrow log_a \ P \ne log_a \ Q o equivalentemente,

           log_a \ P = log_a \ Q \Rightarrow P=Q

b) P < Q \Rightarrow log_a \ P < log_a \ Q, \quad si~ a>1
c) P < Q \Rightarrow log_a \ P > log_a \ Q, \quad si~ 0<a<1

2: Logaritmo de la base:

a) log_a \ a=1
b) log_a \ a^n=n
c) log_a \ 1=0

3: Logaritmo de números negativos o nulos:

Si P \le 0, entonces log_a \ P no existe.

4: Logaritmo de un producto:

log_a \ (P \cdot Q)=log_a \ P + log_a \ Q

5: Logaritmo de un cociente:

log_a \ \cfrac{P}{Q}=log_a \ P - log_a \ Q

6: Logaritmo de una potencia:

log_a \ P^n=n \cdot log_a \ P

7: Logaritmo de una raíz:

log_a \ \sqrt[n]{P}=\cfrac{1}{n} \cdot log_a \ P

8: Cambio de base:

log_a \ P=\cfrac{log_b \ P}{log_b \ a}

(pág. 39)

ejercicio

Ejercicios resueltos: Propiedades de los logaritmos


Sabiendo que log_2 \ A=3.5 \ y \ log_2 \ B=-1.4, calcula:

a) log_2 \ \cfrac{A \cdot B}{4}
b) log_2 \ \cfrac{2 \sqrt{A}} {B^3}

Logaritmos decimales

(pág. 38)

Los logaritmos decimales son aquellos de base 10. En vez de representarlos por log_{10}\;, los representaremos, simplemente, por log\;. Esto es:

log_{10} \ P=log \ P

Calculadora

Calculadora

Calculadora: Logaritmo decimal


Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla Logaritmo decimal.

Antes de la existencia de las calculadoras, los logaritmos decimales se obtenían a partir de las llamadas tablas logarítmicas.

Haciendo uso de la propiedad del cambio de base, vista en un apartado anterior, podemos calcular logaritmos en cualquier base utilizando logaritmos decimales. He aquí un ejemplo:

(pág. 38)

ejercicio

Ejemplo: Cambio de base


Usa la calculadora para hallar log_2 \ 11.

Logaritmos neperianos

(pág. 38)

Los logaritmos neperianos o logaritmos naturales son aquellos cuya base es el número e (2.71828...). En vez de representarlos por log_{e}\;, los representaremos, simplemente, por ln\;. Esto es:

log_{e} \ P=ln \ P

Deben su nombre a Neper, matemático escocés, que los inventó en 1614.

Calculadora

Calculadora

Calculadora: Logaritmo neperiano


Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla Logaritmo neperiano.

(pág. 39)

ejercicio

Ejercicios resueltos: Propiedades de los logaritmos


Averiguar la relación que hay entre x e y, sabiendo que se verifica: ln \ y=x+ ln \ 7

La función logarítmica

Sea a \in \mathbb{R} \ , a>0 \ , a \ne 1. Se define la función logarítmica de base a\; como:

\begin{matrix} f \colon \mathbb{R}{}_*^+  \rightarrow  \mathbb{R} \quad  \\ \, \qquad \qquad \  x \  \rightarrow   y=log_a \, x \end{matrix}

La función logarítmica de base el número e = 2,7182... es de especial importancia en matemáticas. Se denomina función logaritmo neperiano y se designa por ln \, x.

La función logarítmica de base 10 también es de particular interés. Se denomina función logaritmo decimal y se designa por log \, x (sin especificar la base).

Funciones logarítmicas con distintas bases:   - En rojo está representada la de base e.   - En verde la de base 10.   - En púrpura la de base 1.7.
Aumentar
Funciones logarítmicas con distintas bases:

- En rojo está representada la de base e.

- En verde la de base 10.

- En púrpura la de base 1.7.

Propiedades de las funciones logarítmicas

ejercicio

Propiedades de la función logarítmica


Las funciones exponenciales de base a\; cumplen las siguientes propiedades:

  • Son continuas en su dominio: D_f=\mathbb{R}_*^+=\mathbb{R}^+ - \{0\}.
  • Pasan por (1,0)\; y (a,1)\;.
  • Crecimiento:
  • Si a>1\; son crecientes.
  • Si 0<a<1\; son decrecientes.
  • Su crecimiento es menor que el de las funciones raíz de cualquier índice \sqrt[n]{x}.
  • La función logaritmica y la exponencial de la misma base son funciones inversas y por tanto sus gráficas son simétricas respecto de la recta y=x\;.
Funciones logarítmicas
Aumentar
Funciones logarítmicas

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Logaritmos


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