Números complejos: Forma polar (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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Forma polar de un número complejo

Dado un número complejo z=a+bi\,

  • El módulo de z\, es la longitud del vector que lo representa, es decir, la distancia entre el afijo (a,b)\, y el origen (0,0)\,). Se designa por r=|z|\,.
  • El argumento de z\, (z \ne 0), es el ángulo que forma el vector con el eje X . Se designa por \phi=arg(z)\,. De los infinitos argumentos de un número complejo, al comprendido entre 0º y 360º se le llama argumento principal.

La forma polar del número complejo z \, (z \ne 0), se designa r_\phi \,, siendo r=|z|\, y \phi=arg(z)\,.

(El cero, al no tener argumento, no se puede poner en forma polar)

ejercicio

Propiedades


Si z= r_\phi\;, entonces:

  • Su opuesto es -z=r_{\phi + 180^\circ}
  • Su conjugado es \bar z = r_{-\phi}
Fig. 1: Un número complejo queda determinado por su módulo y su argumento.
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Fig. 1: Un número complejo queda determinado por su módulo y su argumento.

Paso de forma binómica a polar

ejercicio

Procedimiento


Dado un número complejo z=a+bi\, su forma polar r_\phi \, se obtiene de la siguiente manera:

  • r = |z| = \sqrt{a^2+b^2}\quad     
  • \phi=arctg \, \cfrac{b}{a}

ejercicio

Ejemplo: Paso de forma binómica a polar


Pasa a forma polar:

a) z=2+2i\,
b) z=-i\,
c) z=-3\,

(Pág. 153)

Paso de forma polar a binómica

ejercicio

Procedimiento


Dado un número complejo r_\phi \,, su forma binómica a+bi\, se obtiene de la siguiente manera:

  • a=r \cdot cos \, \phi
  • b=r \cdot sen \, \phi

ejercicio

Ejemplo: Paso de forma polar a binómica


Pasa a forma binómica el número complejo z=2_{30^\circ}

Forma trigonométrica de un número complejo

Según lo visto en el apartado anterior:

z=a+bi= r \cdot cos \, \phi + r \cdot sen \, \phi \cdot i=r \, (cos \, \phi + i \, sen \, \phi)

Se llama forma trigonométrica de un número complejo, a la expresión

z=r \, (cos \, \phi + i \, sen \, \phi)

ejercicio

Ejemplo: Forma trigonométrica de un complejo


Pasa a forma trigonométrica el número complejo z=2_{60^\circ}

Familias de complejos en forma polar

ejercicio

Ejercicio resuelto: Familias de complejos en forma polar


Representa los siguientes conjuntos de números complejos:

a) |z|=3\;
b) |z|<3\;
c) 1 \le |z| \le 3
d) Arg(z)=30^\circ

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Forma polar de un número complejo


(Pág. 153)

2a,e,f; 3a,e,f; 4; 5; 6

1; 2b,c,d; 3b,c,d

(Pág. 158)

1c,d,e; 2d,e

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