Números complejos: Operaciones en forma polar (1ºBach)

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Tabla de contenidos

Multiplicación de números complejos en forma polar

ejercicio

Producto de complejos en forma polar


El producto de dos numeros complejos en forma polar es otro complejo en forma polar cuyo módulo es el producto de los módulos y el argumento la suma de los argumentos de los respectivos complejos.

r_\alpha \cdot s_\beta=(r \cdot s)_{\alpha + \beta}

ejercicio

Actividad interactiva: Multiplicación de complejos en forma polar


Efectúa las siguientes multiplicaciones de complejos en forma polar y compruébalo en la escena:
a) 1_{150^\circ} \cdot 5_{30^\circ}
b) 3_{15^\circ} \cdot 2_{75^\circ}

Potencias de números complejos en forma polar

ejercicio

Potencia de un complejo en forma polar


La potencia n-ésima de un compejo se obtiene de la siguiente manera:

(r_\alpha)^n =(r^n)_{n \cdot \alpha}

ejercicio

Ejercicios:Potencias de números complejos en forma polar


ejercicio

Actividad interactiva: Potencias de complejos en forma polar


Efectúa las siguientes potencias de complejos en forma polar y compruébalo en la escena:
a) (1_{60^\circ})^4     b) (3_{90^\circ})^2     c) (2_{120^\circ})^3     d) (1_{45^\circ})^6

Fórmula de Moivre

ejercicio

Fórmula de Moivre


(cos \, \alpha + i \, sen \, \alpha)^n=cos \, (n \, \alpha) + i \, sen \, (n \, \alpha)

Esta fórmula debe su nombre al matemático francés Abraham de Moivre (1667-1754).

División de números complejos en forma polar

ejercicio

División de complejos en forma polar


La división de dos numeros complejos en forma polar es otro complejo en forma polar cuyo módulo es el cociente de los módulos y el argumento la diferencia de los argumentos de los respectivos complejos.

\cfrac{r_\alpha}{s_\beta}=\Big( \cfrac{r}{s} \, \Big)_{\alpha - \beta}

ejercicio

Actividad interactiva: División de complejos en forma polar


Efectúa las siguientes divisiones de complejos en forma polar y compruébalo en la escena:
a) 5_{150^\circ} : 2_{30^\circ}
b) 6_{225^\circ} : 3_{75^\circ}

Radicación de números complejos en forma polar

Un número complejo w \, es una raíz n-ésima de otro complejo z \, si se cumple que w^n=z \,.

ejercicio

Raíces de un complejo


Un número complejo z=R_A \, tiene exactamente n raíces n-ésimas w=r_\alpha \, , que se obtienen de la siguiente manera:
r_\alpha :  \begin{cases} r=\sqrt[n]{R} \\  \alpha=\cfrac{A+2k \pi}{n}\, , \quad k=0,1,\cdots,(n-1) \end{cases}

ejercicio

Ejemplo: Raíces de un complejo


Calcula: \sqrt[3]{1+i}:

ejercicio

Ejercicios:Radicación de números complejos expresados en forma polar


ejercicio

Actividad interactiva: Raíces de complejos en forma polar


Calcula las siguientes raíces de complejos en forma polar y compruébalo en la escena:
a) \sqrt{4_{90^\circ}}     b) \sqrt[3]{8_{120^\circ}}      c) \sqrt[5]{5_{270^\circ}}     d) \sqrt[4]{6_{120^\circ}}

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