Puntos y vectores el plano (1ºBach)

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Sistema de referencia en el plano

Un sistema de referencia del plano consiste en una terna \mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}, donde O\, es un punto fijo, llamado origen, y B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}) una base de vectores del plano.

En este sistema de referencia, cada punto P\, del plano tiene asociado un vector fijo \overrightarrow{OP}, llamado vector de posición del punto P\,.

Si el vector \overrightarrow{OP} tiene coordenadas (a,b)\, respecto de la base B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}), el punto P\, diremos que tiene coordenadas (a,b)\, respecto del sistema de referencia \mathfrak{R}.

Normalmente trabajaremos con un sistema de referencia ortonormal, que es aquel en el que la base es ortonormal.


Sistema de referencia ortonormal

ejercicio

Actividad interactiva: Sistema de referencia en el plano


Actividad 1: En la siguiente escena veremos como se obtiene el vector de posición de un punto y las coordenadas del punto respecto de un sistema de referencia ortonormal.

Coordenadas del vector que une dos puntos

ejercicio

Coordenadas del vector que une dos puntos


Dados dos puntos del plano de coordenadas A(x_1,y_1)\, y B(x_2,y_2)\,, respecto de un sistema de referencia \mathfrak{R}, entonces:
\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)

ejercicio

Actividad interactiva: Coordenadas del vector que une dos puntos


Actividad 1: En la siguiente escena obtendrás la coordenadas del vector que une dos puntos del plano.

ejercicio

Ejercicios


Condición para que tres puntos estén alineados

ejercicio

Condición para que tres puntos estén alineados


Los puntos del plano A(x_1,y_1)\,, B(x_2,y_2)\, y C(x_3,y_3)\,, están alineados si se cumple:
\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2}

ejercicio

Actividad interactiva: Condición para que tres puntos estén alineados


Actividad 1: En la siguiente escena comprobarás si tres los puntos, A(-7,-2)\,, B(-1,0)\, y C(11,4)\,, están alineados.

Actividad 2: En esta escena tenemos tres puntos P(1,4)\,, Q(5,-2)\, y R(m,n)\,. Vamos a variar m\, y n\,, para conseguir que los tres puntos estén alineados.

Punto medio de un segmento

ejercicio

Punto medio de un segmento


Las coordenadas del punto medio, M\,, de un segmento de extremos A(x_1,y_1)\, y B(x_2,y_2)\, son:


M=\Big( \cfrac{x_1+x_2}{2}, \cfrac{y_1+y_2}{2} \Big)

ejercicio

Actividad interactiva: Punto medio de un segmento


Actividad 1: En la siguiente escena calcularemos el punto medio de un segmento de extremos A(2,4)\, y B(7,2)\,.

Simétrico de un punto respecto de otro

ejercicio

Simétrico de un punto respecto de otro


El punto simétrico de A(x,y)\, respecto del punto P(a,b)\, es:


A'=(2a-x,2b-y)\,.

ejercicio

Actividad interactiva: Simétrico de un punto respecto de otro


Actividad 1: En la siguiente escena queremos calcular el punto B(x,y)\, , simétrico de A(2,4)\, respecto del punto M(4.5,3)\,.
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