Radicales (1ºBach)

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Tabla de contenidos

Raíces

Raíz de un número

Sabemos que 3^2 = 9\;\!. Esta igualdad la podemos expresar de forma similar como \sqrt{9}=3 y se lee 3 es igual a la raíz cuadrada de 9.

En general:

  • Se define la raíz cuadrada de un número a\;\! como otro número b\;\! tal que b^2 =a\;\!, que escribimos simbólicamente: b=\sqrt{a}.
  • Se define la raíz cúbica de un número a\;\! como otro número b\;\! tal que b^3 =a\;\!, que escribimos simbólicamente: b=\sqrt[3]{a}.
  • Igualmente, se define raíz n-sima (n \in \mathbb{N},\ n>1)de un número a\;\! como otro número b\;\! tal que b^n =a\;\!, que escribimos simbólicamente: b=\sqrt[n]{a}.
  • El número a\;\! se llama radicando, el número n\;\! índice y b\;\! es la raíz.

Propiedades de las raíces

  • \sqrt[n]{1}=1 y \sqrt[n]{0}=0, para cualquier valor del índice n\;\!.
  • Si a>0\;\!, \sqrt[n]{a} existe cualquiera que sea el índice n\;\!.
  • Si a<0\;\!, \sqrt[n]{a} sólo existe si el índice n\;\! es impar.
  • Si el índice n\;\! es par y el radicando a>0\;\!, la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto. Si el índice es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando a\;\!.

Raíces exactas e inexactas

Se llaman raíces exactas a aquellas que dan como resultado un número racional. En caso contrario diremos que son inexactas y el resultado será un número irracional.

Para que una raíz sea exacta, al descomponer el radicando en factores primos, las potencias de éstos deben ser todas números divisibles por el índice.

ejercicio

Ejemplo: Raíces exactas e inexactas


Calcula las siguientes raíces cuando sean exactas:

a) \sqrt[3]{216} \quad b) \sqrt[4]{0'0256}\quad c) \sqrt[3]{192}

wolfram

Actividad: Raíces exactas


Calcula:
a)\ \sqrt {16}, \quad b)\ \sqrt[3]{-27}, \quad c)\ \sqrt[4]{16}

La raíz como potencia de exponente fraccionario

ejercicio

Proposición


Toda raíz se puede expresar como una potencia de la siguiente forma:

\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}

ejercicio

Ejemplo: La raíz como potencia de exponente fraccionario


Escribe las siguientes potencias de exponente fraccionario en forma de raíces y calcula su valor:
a)\ 16^\frac{3}{4}\quad b)\ 27^\frac{2}{3}\quad c)\ 125^\frac{4}{3}\quad d)\ 100^{-\frac{3}{2}}\quad e)\ 8^{-\frac{2}{3}}

Propiedades: Las potencias con exponente fraccionario tienen las mismas propiedades que con exponente natural o entero.

wolfram

Actividad: Raíces como potencias de exponente fraccionario


Calcula las siguientes raíces como potencias de exponente fraccionario:
a)\ \sqrt {16}, \quad b)\ \sqrt[3]{-27}, \quad c)\ \sqrt[4]{16}

Calculadora

Raíz cuadrada

Calculadora

Calculadora: Raíz cuadrada


Para calcular raíces cuadradas usaremos la tecla Raíz cuadrada.

Raíz cúbica

Calculadora

Calculadora: Raíz cúbica


Para calcular raíces cúbicas usaremos la tecla Raíz cúbica.

Otras raíces

Calculadora

Calculadora: Otras raíces


Para calcular la raíz cuarta, quinta, etc., usaremos la tecla Raíz de índice x.

Radicales

Radical

Se llama radical a cualquier expresión en la que aparezcan raíces

Operaciones básicas con radicales

Producto:

Para multiplicar radicales del mismo índice se deja el índice y se multiplican los radicandos


Cociente:

Para dividir radicales del mismo índice, se deja el índice y se dividen los radicandos.


Potencia:

Para elevar un radical a una potencia se eleva el radicando a dicha potencia, manteniendo el índice.


Radical:

Para hallar el radical de un radical se multiplican los índices de ambos.

ejercicio

Actividad Interactiva: Radicales


Operaciones con radicales del mismo índice.

Suma y resta de radicales con el mismo índice y radicando

Para sumar y restar radicales, éstos deben tener el mismo radicando y el mismo índice.

Extracción e introducción de factores en un radical

Extracción de factores

Para extaer factores de un radical se divide el exponente entre el índice y se saca el factor elevado al cociente de la división quedando ese factor elevado al resto.

Introducción de factores

Para introducir factores dentro de un radical se multiplica el exponente del factor por el índice del radical.

ejercicio

Actividad Interactiva: Introducción y extracción de factores de un radical


Actividad 1. Introduce y extráe factores de radicales.

Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Si tienen el mismo índice pero distinto radicando, a veces, podemos extraer factores del radical y dejarlos con el mismo radicando:

ejercicio

Actividad Interactiva: Suma y resta de radicales


Actividad 1. Suma y resta radicales con el mismo índice y distinto radicando.
Actividad 2. Operaciones combinadas.

Producto y cocientes de radicales de distinto índice

Para multiplicar o dividir radicales con distintos índices, éstos deben tener el mismo radicando. En tal caso, los radicales los convertimos en potencias de la misma base y operamos con ellas, para obtener una única potencia, que posemos volver a poner en forma radical.

(Otro método: sin pasar a potencia de exponente fraccionario. Ver también: Radicales equivalentes)

Racionalización de denominadores

El procedimiento por el cual hacemos desaparecer las raíces de los denominadores se le llama racionalización

Caso 1: Denominador con raíces cuadradas

Para racionalizar uno de este tipo se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el denominador de la misma.

Caso 2: Denominador con otras raíces

Las cantidades exponenciales del radical para multiplicar al numerador y denominador de la fracción será el número del exponente que falta para acercarse al índice del radical. En caso de que el exponente sea mayor que el índice de la raíz, la cantidad de aquel exponente será la que falte para llegar al múltiplo más cercano de la raíz.

Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces

Se multiplica y divide por la expresión conjugada del denominador (solo se le cambia el segundo signo de la expresión)

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