Radicales (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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Raíz n-ésima de un número

La raíz n-ésima (n \in \mathbb{N},\ n>1)de un número a \in \mathbb{R} es otro número b \in \mathbb{R} tal que b^n =a\;\! y que escribimos simbólicamente b=\sqrt[n]{a}.

\sqrt[n]{a}=b \iff b^n =a

El número a\;\! se llama radicando, el número n\;\! índice y b\;\! la raíz.

Propiedades de las raíces

ejercicio

Propiedades


  • \sqrt[n]{1}=1  ;  \sqrt[n]{0}=0 , para cualquier valor del índice n\;\!.
  • Si a>0\;\!, \sqrt[n]{a} existe cualquiera que sea el índice n\;\!.
  • Si a<0\;\!, \sqrt[n]{a} sólo existe si el índice n\;\! es impar.
  • Si el índice n\;\! es par y el radicando a>0\;\!, la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto.
  • Si el índice n\;\! es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando a\;\!.

La raíz como potencia de exponente fraccionario

ejercicio

Proposición: La raíz como potencia de exponente fraccionario


Toda raíz se puede expresar como una potencia de la siguiente forma:

\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}

ejercicio

Ejemplo: La raíz como potencia de exponente fraccionario


Escribe las siguientes raíces como potencias de exponente fraccionario y calcula su valor:

a)\ \sqrt[3] {125^4} \quad b)\ \sqrt {100^{-3}}

ejercicio

Propiedades de las potencias de exponente fraccionario


Las potencias con exponente fraccionario tienen las mismas propiedades que con exponente natural o entero.


Raíces exactas e inexactas

Se llaman raíces exactas a aquellas que dan como resultado un número racional. En caso contrario diremos que son inexactas y el resultado será un número irracional.

ejercicio

Raíces exactas e inexactas


Para que una raíz sea exacta, al descomponer el radicando en factores primos, los exponentes de éstos deben ser todos divisibles por el índice de la raíz.

ejercicio

Ejemplo: Raíces exactas e inexactas


Calcula las siguientes raíces cuando sean exactas:

a) \sqrt[3]{216} \quad b) \sqrt[4]{0.0256}\quad c) \sqrt[3]{192}

Calculadora

Raíz cuadrada

Calculadora

Calculadora: Raíz cuadrada


Para calcular raíces cuadradas usaremos la tecla Raíz cuadrada.

Raíz cúbica

Calculadora

Calculadora: Raíz cúbica


Para calcular raíces cúbicas usaremos la tecla Raíz cúbica.

Otras raíces

Calculadora

Calculadora: Otras raíces


Para calcular la raíz cuarta, quinta, etc., usaremos la tecla Raíz de índice x.

Radical

Un radical es cualquier expresión del tipo:

k \cdot \sqrt[n]{a}~,~k \in \mathbb{R}

Operaciones con radicales

Propiedades de las operaciones con radicales

ejercicio

Propiedades de las operaciones con radicales


1. \sqrt[np]{a^p}=\sqrt[n]{a}

2. \left ( \sqrt[n]{a}\right )^p=\sqrt[n]{a^p}

3. \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}

4. \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot b}

5. \cfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\cfrac{a}{b}}

ejercicio

Ejercicios resueltos: Radicales. Propiedades


Simplificar: a) \sqrt[12]{x^9},    b) \left ( \sqrt[3]{a^2} \right )^6,    c) \sqrt{\sqrt[3]{a}},    d) \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9},    e) \sqrt{12} : \sqrt{3}

Suma y resta de radicales con el mismo índice y radicando

Para sumar y restar radicales, éstos deben tener el mismo radicando y el mismo índice. En tal caso el radical el radical resultante tiene como coeficiente la suma o resta de los coeficientes de cada uno de los radicales.

ejercicio

Ejemplo: Suma y resta de radicales con el mismo índice y radicando


Efectúa las siguientes sumas y restas de radicales:

1. 3\sqrt{5}-\sqrt{5}+5\sqrt{5}

2. 3\sqrt{2}-\sqrt{3}

3. 3\sqrt[3]{2}+\sqrt{2}

Extracción e introducción de factores en un radical

Extracción de factores

Para extaer factores de un radical se divide el exponente entre el índice y se saca el factor elevado al cociente de la división quedando ese factor elevado al resto.

ejercicio

Ejemplo: Extracción de factores de un radical


Extrae todo lo que se pueda de este radical: \sqrt[3]{6000}

Introducción de factores

Para introducir un factor dentro de un radical, éste se eleva al índice del radical y el resultado se multiplica por el radicando del radical.

ejercicio

Ejemplo: Introducción de factores en un radical


Introduce los factores dentro del radical: 10 \sqrt[3]{6}

Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Si tienen el mismo índice pero distinto radicando, a veces, podemos extraer factores del radical y dejarlos con el mismo radicando.

ejercicio

Ejemplo: Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando


Resta los siguientes radicales: \sqrt{48}-\sqrt{75}

Producto y cocientes de radicales de distinto índice

Para multiplicar o dividir radicales de distinto índice, primero se reducen a índice común y luego se multiplican o dividen los radicandos.

ejercicio

Ejemplo: Producto y cocientes de radicales de distinto índice


Reduce a un solo radical \sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[4]{5}:\sqrt{8}

Racionalización de denominadores

Se llama racionalización al procedimiento por el cual a partir de una fracción con raíces en el denominador obtenemos otra fracción equivalente sin raíces en el denominador

Caso 1: Denominador con raíces cuadradas

Para racionalizar uno radical de este tipo se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el denominador de la misma.

ejercicio

Ejemplo: Caso 1: Denominador con raíces cuadradas


Racionalizar \frac{{6}}{\sqrt{2}}

Caso 2: Denominador con otras raíces

En este caso, los exponentes del radicando del radical por el que se deben multiplicar el numerador y denominador de la fracción será la diferencia entre los exponentes actuales y el índice (o múltiplo del indice más cercano) del radical.

ejercicio

Ejemplo: Caso 2: Denominador con otras raíces


Racionalizar \frac{{2}}{\sqrt[5]{a^3b^4}}

Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces

Para este último caso, se multiplica y divide por la expresión conjugada del denominador (solo se le cambia el segundo signo de la expresión)

ejercicio

Ejemplo: Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces


Racionalizar \frac{{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Radicales


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