Trigonometría (PACS)

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Trigonometría

Transportador de ángulos.
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Transportador de ángulos.

La trigonometría en principio es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

Ángulo

Se denomina ángulo, en el plano, a la porción de éste comprendida entre dos semirrectas que tienen un origen común denominado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos rayos con origen común. Así, un ángulo determina una superficie abierta (subconjunto abierto de puntos del plano), al estar definido por dos semirrectas, denominándose medida del ángulo a la amplitud de estas semirrectas.

Las unidades de medida de ángulos

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Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

  • Radián (usado oficialmente en el sistema internacional de unidades)

El radián se define como el ángulo que limita un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Una definición más general, indica que el ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la longitud del arco formado sobre el radio, es decir, θ = s /r, donde θ es el ángulo, s es la longitud del arco y r es el radio. Por tanto, el ángulo, α, completo en radianes de una circunferencia de radio, r, es:

\alpha_{circunferencia}=\frac {L_{circunferencia}}{r} =\frac {2 \times \pi \times r}{r}=2 \times \pi

Su símbolo es rad.

  • Grado sexagesimal

El grado sexagesimal, como unidad del sistema de medida de ángulos sexagesimal, esta definido partiendo de que un ángulo recto tiene 90° (90 grados sexagesimales), y sus divisores el minuto sexagesimal, y el segundo sexagesimal, están definidos del siguiente modo:

  • 1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales).
  • 1 grado sexagesimal = 60′ (minutos sexagesimales).
  • 1 minuto sexagesimal = 60″ (segundos sexagesimales).

Notación decimal

Una cantidad en grados se puede expresar en forma decimal, separando la parte entera de la decimal con la coma decimal, en la forma normal de expresar cantidades decimales, por ejemplo.

23,2345°
12,32°
-50,265°
123,696°

Notación sexagesimal

Podemos expresar una cantidad en grados minutos y segundos, las partes de grado inferiores al segundo se expresan como parte decimal de segundo, ejemplo:

12°34′34″
13°3′23,8″
124°45′34,70″
-2°34′10″

Teniendo cuidado como norma de notación, no dejar espacio entre las cifras, es decir:

escribir 12°34′34,2″ y no 12° 34′ 34″

Relación ente radianes y grados sexagesimales

Se parte de la base de que una circunferencia completa tiene radianes, y que una circunferencia tiene 360° sexagesimales, luego tenemos:

\frac{360}{2\pi} = \frac{180}{\pi} = \frac{grados}{radianes}

luego tenemos que:

{grados} = \frac{180}{\pi} \; {radianes}

La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes.

Grados   30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
Radianes 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π /2


Clasificación de ángulos planos

Ángulo agudo
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Ángulo agudo
Ángulo recto
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Ángulo recto

Ángulo agudo

Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de \frac{\pi}{2} rad (mayor de 0º y menor de 90º).
Al punto de inicio o de encuentro, se le llama vértice.

Ángulo recto

Un ángulo recto es de amplitud igual a \frac{\pi}{2} rad (equivalente a 90º).
Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.
La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.
Ángulo obtuso
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Ángulo obtuso
Ángulo llano
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Ángulo llano

Ángulo obtuso

Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a \frac{\pi}{2} rad y menor a \pi\, rad (mayor a 90º y menor a 180º).

Ángulo llano o extendido

El ángulo llano tiene una amplitud de \pi \, rad (equivalente a 180º).

Ángulo cóncavo
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Ángulo cóncavo
Ángulo completo
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Ángulo completo

Ángulo cóncavo o reflejo

El ángulo cóncavo, externo o reflejo, es el que mide más de \pi\, rad y menos de 2 \pi\, rad (esto es, más de 180º y menos de 360°)

Ángulo completo o perigonal

Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de 2\pi\, rad (equivalente a 360º)

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