Vectores: Definición y operaciones (1ºBach)

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Tabla de contenidos

Vectores

Vectores fijos

Un vector fijo es un segmento orientado que queda determinado por un punto origen, A y otro punto extremo, B. Lo simbolizamos \overrightarrow{AB}.

Características de un vector:

  • El módulo del vector \overrightarrow{AB} es la longitud del segmento \overline{AB}, se representa por |\overrightarrow{AB}|.
  • La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquiera de sus paralelas.
  • Cada dirección admite dos sentidos opuestos: el que va de A a B y el que va de B a A. Gráficamente se representa con una punta de flecha.

Vector nulo

El vector nulo es aquel cuyo origen y extremo coinciden y, por tanto, tiene módulo cero. Lo simbolizaremos \overrightarrow{0}.

Vectores opuestos

Dos vectores, \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v}, son opuestos si tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentidos opuestos. Lo simbolizaremos \overrightarrow{u}=-\overrightarrow{v}.

Vectores opuestos: \overrightarrow{u}=-\overrightarrow{v}

Vectores equipolentes. Vectores libres

Dos vectores, \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v}, son equipolentes cuando tienen el mismo módulo, dirección y sentido (aunque sus orígenes y extremos sean distintos). Lo simbolizaremos \overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}

Dado un vector, existen infinitos vectores equipolentes a él. Cuando queremos hacer uso de un vector podemos elegir uno de esos infinitos vectores iguales a él y utilizarlo como representante del vector. Al conjunto de todos los vectores equipolentes a uno dado se le llama vector libre. Un vector libre lo denotaremos mediante una letra con una flecha: \overrightarrow{u} \, , \overrightarrow{v} \, , ...

Vectores equipolentes

\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}=\overrightarrow{w}

ejercicio

Actividad interactiva: Vectores


Actividad 1: Módulo, dirección y sentido de un vector fijo.

Actividad 2: Vectores equipolentes.

Actividad 3: Vectores libres.

Operaciones con vectores

Producto de un vector por un número

El producto de un número real k\, por un vector \overrightarrow{v} es otro vector k\overrightarrow{v} que tiene las siguientes características:

  • Módulo: |k\overrightarrow{v}|=|k| \cdot |\overrightarrow{v}| (|k|\, es el valor absoluto del número real k\,)
  • Dirección: la misma que \overrightarrow{v}.
  • Sentido: el mismo que \overrightarrow{v} si k>0\, y opuesto si k<0\,.

\overrightarrow{v}=2 \overrightarrow{u} \qquad \overrightarrow{w}=- \frac{1}{2} \overrightarrow{u}

ejercicio

Actividad interactiva: Producto de un vector por un número


Actividad 1: En esta escena representaremos el producto de un vector por un número.

Suma y resta de vectores

Suma de vectores:

Dados dos vectores \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v}, su suma es otro vector, \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}, que tiene como origen el origen de \overrightarrow{u} y por el extremo, el extremo de \overrightarrow{v}.

ejercicio

Actividad interactiva: Suma de vectores


Actividad 1: En la escena siguiente vamos a ver como es la suma de dos vectores por 2 métodos.

Resta de vectores:

Para restar dos vectores \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v}, sumamos al vector \overrightarrow{u} el opuesto de \overrightarrow{v}. Es decir, \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u} + (- \overrightarrow{v}).

Método del paralelogramo:

Si consideramos el paralelogramo que resulta de los vectores \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v} y las paralelas auxiliares, observamos que la suma y la resta de ambos vectores constituyen gráficamente las diagonales mayor y menor respectivamente.

ejercicio

Actividad interactiva: Resta de vectores


Actividad 1: En la escena siguiente vamos a ver como es la resta de dos vectores.

Combinación lineal de vectores

Dados dos vectores \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v}, otro vector \overrightarrow{w} es combinación lineal de ellos si podemos encontrar dos números reales a y b tales que

\overrightarrow{w}=a \cdot \overrightarrow{u}+ b \cdot \overrightarrow{v}

En el gráfigo de la derecha tenemos un ejemplo en el que el vector \overrightarrow{w} es combinación lineal de los vectores \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v}, siendo los coeficientes a=3\, y b=2\,.

La definición anterior se puede extender a mas de dos vectores, así, por ejemplo, un vector \overrightarrow{w} es combinación lineal de otros tres \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} y \overrightarrow{z} si podemos encontrar 3 números reales a, b y c tales que

\overrightarrow{w}=a \cdot \overrightarrow{u}+ b \cdot \overrightarrow{v}+ c \cdot \overrightarrow{v}

ejercicio

Actividad interactiva: Combinación lineal de vectores


Actividad 1: En la escena siguiente tienes el vector \overrightarrow{w}=2\overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v}. Se dice entonces que el vector \overrightarrow{w}es combinación lineal de \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v}.

Actividad 2: En la escena siguiente vas a expresar un vector como combinación lineal de otros dos.

Actividad 3: En la escena siguiente vas a ver como se construye un vector como combinación lineal de otros dos.

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