Vectores: Definición y operaciones (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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Vectores

Vectores fijos

Un vector fijo es un segmento orientado que queda determinado por un punto origen, A y otro punto extremo, B. Lo simbolizamos \overrightarrow{AB}.

Características de un vector:

  • El módulo del vector \overrightarrow{AB} es la longitud del segmento \overline{AB}, se representa por |\overrightarrow{AB}|.
  • La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquiera de sus paralelas.
  • Cada dirección admite dos sentidos opuestos: el que va de A a B y el que va de B a A. Gráficamente se representa con una punta de flecha.

Vectores equipolentes. Vectores libres

Dos vectores, \vec{AB} y \vec{CD}, son equipolentes cuando tienen el mismo módulo, dirección y sentido (aunque sus orígenes y extremos sean distintos). Lo simbolizaremos \vec{AB}=\vec{CD}

Dado un vector, existen infinitos vectores equipolentes a él. Cuando queremos hacer uso de un vector podemos elegir uno de esos infinitos vectores iguales a él y utilizarlo como representante del vector. Al conjunto de todos los vectores equipolentes a uno dado se le llama vector libre. Un vector libre lo denotaremos mediante una letra con una flecha: \vec{u} \, , \vec{v} \, , ...

Vectores equipolentes

\vec{u}=\vec{v}=\vec{w}

Vector nulo

El vector nulo es aquel cuyo origen y extremo coinciden y, por tanto, tiene módulo cero. Lo simbolizaremos \vec{0}.

Vectores opuestos

Dos vectores, \vec{u} y \vec{v}, son opuestos si tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentidos opuestos. Lo simbolizaremos \vec{u}=-\vec{v}.

Vectores opuestos: \vec{u}=-\vec{v}

Operaciones con vectores

Producto de un vector por un número

El producto de un número real k\, por un vector \vec{v} es otro vector k\vec{v} que tiene las siguientes características:

  • Módulo: |k\vec{v}|=|k| \cdot |\vec{v}| (|k|\, es el valor absoluto del número real k\,)
  • Dirección: la misma que \vec{v}.
  • Sentido: el mismo que \vec{v} si k>0\, y opuesto si k<0\,.


\vec{v}=2 \vec{u} \qquad \vec{w}=- \frac{1}{2} \vec{u}

Suma y resta de vectores

Suma de vectores:

Dados dos vectores \vec{u} y \vec{v}, su suma es otro vector, \vec{u} + \vec{v}, que tiene como origen el origen de \vec{u} y por el extremo, el extremo de \vec{v}.

Resta de vectores:

Para restar dos vectores \vec{u} y \vec{v}, sumamos al vector \vec{u} el opuesto de \vec{v}. Es decir, \vec{u} - \vec{v}=\vec{u} + (- \vec{v}).

Método del paralelogramo:

Si consideramos el paralelogramo que resulta de los vectores \vec{u} y \vec{v} y las paralelas auxiliares, observamos que la suma y la resta de ambos vectores constituyen gráficamente las diagonales mayor y menor respectivamente.

Combinación lineal de vectores

Dados dos vectores \vec{u} y \vec{v} y a,b \in \mathbb{R}, el vector \vec{w}=a \cdot \vec{u}+ b \cdot \vec{v} se dice que es una combinación lineal de \vec{u} y \vec{v}.

En el gráfigo de la derecha tenemos un ejemplo en el que el vector \vec{w} es combinación lineal de los vectores \vec{u} y \vec{v}, siendo los coeficientes a=3\, y b=2\,.

La definición anterior se puede extender a mas de dos vectores, así, por ejemplo, el vector

\vec{w}=a \cdot \vec{u}+ b \cdot \vec{v}+ c \cdot \vec{v} \quad (a,b,c \in \mathbb{R})

es combinación lineal de \vec{u}, \vec{v} y \vec{z}.

Cómo expresar gráficamente un vector como combinación lineal de otros dos

ejercicio

Procedimiento


Para expresar gráficamente el vector \vec{w} como combinación lineal de los vectores \vec{u} y \vec{v} (\vec{w}=a \cdot \vec{u}+ b \cdot \vec{v})

  • Colocamos los tres vectores partiendo de un mismo punto.
  • A continuación, por el extremo de \vec{w} trazamos paralelas a los otros dos vectores.
  • Donde estas paralelas corten a las prolongaciones de los vectores, tenemos los extremos del vector a \cdot \vec{u} y b \cdot \vec{v}.

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