Radicales (1ºBach)
De Wikipedia
| Revisión de 18:57 9 ene 2009 Coordinador (Discusión | contribuciones) (→Racionalización de denominadores) ← Ir a diferencia anterior |
Revisión de 18:58 9 ene 2009 Coordinador (Discusión | contribuciones) (→Raíces) Ir a siguiente diferencia → |
||
| Línea 7: | Línea 7: | ||
| {{p}} | {{p}} | ||
| ==Raíces== | ==Raíces== | ||
| + | ===Definición=== | ||
| {{Caja_Amarilla|texto= | {{Caja_Amarilla|texto= | ||
| Sdefine '''raíz n-sima''' de un número real <math>a\;\!</math> (y se representa por <math>\sqrt[n]{a}</math>) como otro número real <math>b\;\!</math> tal que <math>b^n =a\;\!</math>. <math>(n \in \mathbb{N},\ n>1)</math> | Sdefine '''raíz n-sima''' de un número real <math>a\;\!</math> (y se representa por <math>\sqrt[n]{a}</math>) como otro número real <math>b\;\!</math> tal que <math>b^n =a\;\!</math>. <math>(n \in \mathbb{N},\ n>1)</math> | ||
Revisión de 18:58 9 ene 2009
Raíces
Definición
Sdefine raíz n-sima de un número real 
(y se representa por ![\sqrt[n]{a}](/wikipedia/images/math/9/a/2/9a2b6d33f3d62a1e8bd99c76f3cb79f5.png)
) como otro número real 
tal que 
. 
Es decir:
![b=\sqrt[n]{a} \iff b^n =a](/wikipedia/images/math/a/8/5/a854f42279a8ade5b0082bc477d30b79.png)
El número se llama radicando, el número 
, índice y es la raíz.
La raíz como potencia de exponente fraccionario
Proposición
- Toda raíz se puede expresar como una potencia cuya base es el radicando, , y el exponente es
, siendo el índice de la raíz. Ésto es:
|
|
![\sqrt[n]{a}=a^\frac{1}{n}](/wikipedia/images/math/2/0/0/2009af813099ac7b1bef0f0fb92a7999.png)
- De forma similar, también se cumple:
|
|
![\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}](/wikipedia/images/math/3/b/0/3b0234682d54453ceee722e89c782c2e.png)
Ejemplo: La raíz como potencia de exponente fraccionario
- Escribe las siguientes potencias de exponente fraccionario en forma de raíces y calcula su valor:
Radicales
Definición
Se llama radical a cualquier expresión en la que aparezcan raíces
Operaciones básicas con radicales
Para multiplicar radicales del mismo índice se deja el índice y se multiplican los radicandos
Cociente:
Para dividir radicales del mismo índice, se deja el índice y se dividen los radicandos.
Potencia:
Para elevar un radical a una potencia se eleva el radicando a dicha potencia, manteniendo el índice.
Radical:
Para hallar el radical de un radical se multiplican los índices de ambos.
 Actividad Interactiva: Radicales
Actividad 1. Operaciones con radicales del mismo índice.
|
Suma y resta de radicales con el mismo índice y radicando
Para sumar y restar radicales, éstos deben tener el mismo radicando y el mismo índice.
(No se puede simplificar)
![3\sqrt[3]{2}+\sqrt{2}=](/wikipedia/images/math/a/6/e/a6edb4be927bfe44dff1ae00ac0eb772.png)
(No se puede simplificar)Extracción e introducción de factores en un radical
Extracción de factores
Para extaer factores de un radical se divide el exponente entre el índice y se saca el factor elevado al cociente de la división quedando ese factor elevado al resto.
Introducción de factores
Para introducir factores dentro de un radical se multiplica el exponente del factor por el índice del radical.
Actividad Interactiva: Introducción y extracción de factores de un radical
Actividad 1. Introduce y extráe factores de radicales.
|
Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando
Si tienen el mismo índice pero distinto radicando, a veces, podemos extraer factores del radical y dejarlos con el mismo radicando:
Actividad Interactiva: Suma y resta de radicales
Actividad 1. Suma y resta radicales con el mismo índice y distinto radicando.
|
Producto y cocientes de radicales de distinto índice
Para multiplicar o dividir radicales con distintos índices, éstos deben tener el mismo radicando. En tal caso, los radicales los convertimos en potencias de la misma base y operamos con ellas, para obtener una única potencia, que posemos volver a poner en forma radical.
![3\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[4]{5}:\sqrt{5}=3\cdot5^{\frac{1}{3}}\cdot5^{\frac{1}{4}}:5^{\frac{1}{2}}=3\cdot5^{(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2})}=3\cdot5^\frac{1}{12}=3\sqrt[12]{5}](/wikipedia/images/math/b/1/a/b1a9fbc1341d8f63d5659188b2def312.png)
![3\sqrt[5]{2}-\sqrt[3]{3}=](/wikipedia/images/math/2/d/6/2d6ed3298d1c8572ad52fb6df78ce017.png)
(No se puede simplificar)(Otro método: sin pasar a potencia de exponente fraccionario. Ver también: Radicales equivalentes)
Racionalización de denominadores
El procedimiento por el cual hacemos desaparecer las raíces de los denominadores se le llama racionalización
Caso 1: Denominador con raíces cuadradas
Para racionalizar uno de este tipo se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el denominador de la misma.
= 
Caso 2: Denominador con otras raíces
Las cantidades exponenciales del radical para multiplicar al numerador y denominador de la fracción será el número del exponente que falta para acercarse al índice del radical. En caso de que el exponente sea mayor que el índice de la raíz, la cantidad de aquel exponente será la que falte para llegar al múltiplo más cercano de la raíz.
![\frac{{2}}{\sqrt[5]{a^3b^4}}](/wikipedia/images/math/5/3/3/533185378740f77c6d3da802a18e1fdd.png)
![\sqrt[5] {a^2b}](/wikipedia/images/math/3/d/5/3d57844c30135fee650c9bcfd98d40d1.png)
, ya que éste es el radical que al ser multiplicado por el denominador los exponentes de las cantidades subradicales serán iguales al índice de la raíz.
![\frac{\sqrt[5] {a^2b} }{\sqrt[5]{a^2b}}](/wikipedia/images/math/f/3/f/f3f1db7b06562f7cc5f0b7382069273e.png)
= ![\frac{{2\sqrt[5]{a^2b}}}{\sqrt[5]{a^5b^5}}](/wikipedia/images/math/4/e/0/4e0ba3929c6a87cfe18f62280d4d0130.png)
![\frac{{2\sqrt[5]{a^2b}}}{{ab}}](/wikipedia/images/math/1/9/a/19a8e793ecc8f20820460f489be0b1d0.png)
Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces
Se multiplica y divide por la expresión conjugada del denominador (solo se le cambia el segundo signo de la expresión)
; este resultado es el que da el producto notable de los binomios conjugados.
= 
= 
= 
