Algunos tipos de sucesiones (1ºBach)
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| - | <center><math>a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2} \cdots</math></center> | + | <center><math>a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2} \cdots=K</math></center> |
| Entonces, si efectuamos la siguiente suma: | Entonces, si efectuamos la siguiente suma: | ||
| - | S_n\ = \ a_1\ +a_2[[Usuario:Coordinador|Coordinador]]\ + a_3\+ \cdots +\ a_{n-2}+a_{n-1}+a_n | + | <math>S_n \ = \ a_1 \ + ~~a_2 \ + ~~a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n</math>{{p}} |
| - | S_n\ = \ a_n\ +a_{n-1}+ a_{n-3}+\cdots +\a_3\ +\ a_2\ +\ a_1 | + | <math>S_n \ = \ a_n \ + a_{n-1} + a_{n-3}+\cdots + \ ~~a_3\ + \ a_2\ + \ a_1</math>{{p}} |
| - | __________________________________________________________ | + | _______________________________________________________________{{p}} |
| - | 2 \cdot S_n=(a_1+a_n)+(\quad)+(\quad)+ \cdots+(\quad)+(\quad)+(\quad) | + | <math>2 \cdot S_n= K + ~K \ + ~~K \ ~+ \cdots+ ~~K \ + ~K \ + ~K</math> |
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| + | <center><math>S_n=\cfrac{n \cdot K}{2}=\cfrac{n \cdot (a_n+a_1)}{2}</math></center> | ||
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Tabla de contenidos |
Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija, 
, que llamaremos diferencia.
Por ejemplo:
es una progresión aritmética con diferencia d=4.
Término general de una progresión aritmética
Término general de una progresión aritmética
Sean 
términos de una progresión aritmética de diferencia .
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En efecto, razonando por inducción:
........................
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 Actividad Interactiva: Progresiones aritméticas
Actividad 1: Ejercicios de autoevaluación sobre progresiones aritméticas.
Actividad:
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Suma de términos de una progresión aritmética
Suma de términos de una progresión aritmética
La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:
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El porqué de esta fórmula se deduce de la siguiente historia:
En un pequeño pueblo de Alemania, Brunswick, un día en la escuela el profesor manda sumar los cien primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tranquilidad... pero transcurridos pocos segundos uno de los alumnos levanta la mano y dice tener la solución: los cien primeros números naturales suman 5.050. Y efectivamente, así era.
El profesor le preguntó ¿cómo lo has hecho? El niño le dijo: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,... siempre suma 101 y hay 50 sumas, en total 50 * 101 = 5050. El profesor quedó tan impresionado que le regaló un libro de Aritmética.
Ese niño tenía 10 años y se llamaba Carl Friedrich Gaüss. Fue uno de los mas grandes matemáticos.
Intenta enterarte de algo más sobre él.
Veamos la demostración:
Nos basaremos en el hecho de que:
Entonces, si efectuamos la siguiente suma:
_______________________________________________________________
por tanto:
Progresiones geométricas
Sucesiones de potencias
Sucesión de Fibonacci
La sucesión de Fibonacci se debe a Leonardo de Pisa (Fibonacci), matemático italiano del siglo XIII. Es la siguiente:
Es una sucesión recurrente dada por la siguiente relación de recurrencia:
Existe también una fórmula explícita, no recurrente, para el término general:
Término general de la sucesión de Fibonacci
El término general de la sucesión de Fibonacci es:
siendo 
el número áureo.
Puedes ver una demostración que se escapa aeste nivel en este enlace: enlace a wikipedia
