Algunos tipos de sucesiones (1ºBach)

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Revisión de 20:15 10 ene 2009

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Tabla de contenidos

1 Progresiones aritméticas
- 1.1 Término general de una progresión aritmética
- 1.2 Suma de términos de una progresión aritmética
2 Progresiones geométricas
3 Sucesiones de potencias
4 Sucesión de Fibonacci

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija, $d\;\!$ , que llamaremos diferencia.

Por ejemplo:

es una progresión aritmética con diferencia d=4.

Término general de una progresión aritmética

Término general de una progresión aritmética

Sean $a_1, a_2, a_3, ..... \;\!$ términos de una progresión aritmética de diferencia $d\;\!$ .

Entonces, se cumple que:

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \;\!$

Demostración:

En efecto, razonando por inducción:

$a_2 = a_1 + d = a_1 + 1 \cdot d \;\!$

$a_3 = a_2 + d = a_1 + d + d = a_1 + 2 \cdot d \;\!$

$a4 = a3 + d = a1 +2d + d = a_1 + 3 \cdot d \;\!$

........................

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \;\!$

Actividad Interactiva: Progresiones aritméticas

Actividad 1: Ejercicios de autoevaluación sobre progresiones aritméticas.

Actividad:

Pulsa "Nuevo" para que aparezcan otras progresiones.

Click aquí si no se ve bien la escena

Suma de términos de una progresión aritmética

Suma de términos de una progresión aritmética

La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:

$S_n=\frac{(a_1+a_n) \cdot n}{2}$

Demostración:

El porqué de esta fórmula se deduce de la siguiente historia:

En un pequeño pueblo de Alemania, Brunswick, un día en la escuela el profesor manda sumar los cien primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tranquilidad... pero transcurridos pocos segundos uno de los alumnos levanta la mano y dice tener la solución: los cien primeros números naturales suman 5.050. Y efectivamente, así era.

El profesor le preguntó ¿cómo lo has hecho? El niño le dijo: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,... siempre suma 101 y hay 50 sumas, en total 50 * 101 = 5050. El profesor quedó tan impresionado que le regaló un libro de Aritmética.

Ese niño tenía 10 años y se llamaba Carl Friedrich Gaüss. Fue uno de los mas grandes matemáticos. Intenta enterarte de algo más sobre él.

Para la demostración nos basaremos en el hecho de que:

$a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2} \cdots=K$

Entonces, si efectuamos la siguiente suma:

$S_n \ = \ a_1 \ + ~~a_2 \ + ~~a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n$

$S_n \ = \ a_n \ + a_{n-1} + a_{n-3}+\cdots + \ ~~a_3\ + \ a_2\ + \ a_1$

_______________________________________________________________

$2 \cdot S_n= K + ~K \ + ~~K \ ~+ \cdots+ ~~K \ + ~K \ + ~K$

por tanto:

$S_n=\cfrac{n \cdot K}{2}=\cfrac{n \cdot (a_n+a_1)}{2}$

Progresiones geométricas

Sucesiones de potencias

Sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci se debe a Leonardo de Pisa (Fibonacci), matemático italiano del siglo XIII. Es la siguiente:

$1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ \cdots$

Es una sucesión recurrente dada por la siguiente relación de recurrencia:

$a_1=1,\ a_2=1,\ a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$

Existe también una fórmula explícita, no recurrente, para el término general:

Término general de la sucesión de Fibonacci

El término general de la sucesión de Fibonacci es:

$a_n=\frac{\phi^n-\left(-\phi\right)^{-n}}{\sqrt5}$

siendo $\phi\;$ el número áureo.

$\phi=\frac{1+\sqrt5}2$

Demostración:

Puedes ver una demostración que se escapa aeste nivel en este enlace: enlace a wikipedia

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Algunos_tipos_de_sucesiones_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Números

 El profesor le preguntó ¿cómo lo has hecho? El niño le dijo: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,... siempre suma 101 y hay 50 sumas, en total 50 * 101 = 5050. El profesor quedó tan impresionado que le regaló un libro de Aritmética.
-Ese niño tenía 10 años y se llamaba '''[[Gauss|Carl Friedrich Gaüss]]'''. Fue uno de los mas grandes matemáticos.
+Ese niño tenía 10 años y se llamaba '''[[Gauss|Carl Friedrich Gaüss]]'''. Fue uno de los mas grandes matemáticos. ''Intenta enterarte de algo más sobre él.''
-''Intenta enterarte de algo más sobre él.''
+Para la demostración nos basaremos en el hecho de que:
-Veamos la demostración:
-Nos basaremos en el hecho de que:
 <center><math>a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2} \cdots=K</math></center>
 Entonces, si efectuamos la siguiente suma:
-<math>S_n \ = \ a_1 \ + ~~a_2 \ + ~~a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n</math>{{p}}
+::<math>S_n \ = \ a_1 \ + ~~a_2 \ + ~~a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n</math>{{p}}
-<math>S_n \ = \ a_n \ + a_{n-1} + a_{n-3}+\cdots + \ ~~a_3\ + \ a_2\ + \ a_1</math>{{p}}
+::<math>S_n \ = \ a_n \ + a_{n-1} + a_{n-3}+\cdots + \ ~~a_3\ + \ a_2\ + \ a_1</math>{{p}}
-_______________________________________________________________{{p}}
+::_______________________________________________________________{{p}}
-<math>2 \cdot S_n= K  + ~K \ + ~~K \ ~+ \cdots+ ~~K \ + ~K \ + ~K</math>
+::<math>2 \cdot S_n= K  + ~K \ + ~~K \ ~+ \cdots+ ~~K \ + ~K \ + ~K</math>
 por tanto:

Algunos tipos de sucesiones (1ºBach)

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Progresiones aritméticas

Término general de una progresión aritmética

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