Algunos límites importantes (1ºBach)
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|titulo= Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica | |titulo= Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica | ||
- | |enunciado= Sea <math>a_n\;</math> una progresión geométrica de razón <math>r\;</math> y sea <math>S_n=\frac{a_1.r^n-a_1}{r-1}</math> la suma de sus n primeros términos | + | |enunciado= Sea <math>a_n\;</math> una progresión geométrica de razón <math>r\;</math> y sea <math>S_n=\frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}</math> la suma de sus n primeros términos |
::* Si <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> existe y su valor es: | ::* Si <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> existe y su valor es: | ||
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::*Si <math>r<-1\;</math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> no existe. | ::*Si <math>r<-1\;</math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> no existe. | ||
|demo= | |demo= | ||
- | * Si <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, entonces <math>lim \ r^n \; = 0</math> y también <math>lim \a_1 \cdot r^n = 0</math>. | + | * Si <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, entonces <math>lim \ r^n = 0 \;</math> y también <math>lim \ a_1 r^n = 0</math>. |
- | Por ejemplo, si <math>a_1=3</math> y <math>r=0.5</math>, al multiplicar sucesivas veces <math>3 \cdot 0.5</math>, el resultado se aproxima cada vez más a cero. Entonces | + | Por ejemplo, si <math>a_1=3</math> y <math>r=0.5</math>, al multiplicar sucesivas veces 3 por 0.5 (lo que equivale a dividir por 2), el resultado se aproxima cada vez más a cero. Entonces |
- | </center><math>lim \ S_n=lim \ \frac{a_1.r^n-a_1}{r-1}=\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}</math></center> | + | <center><math>lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}</math></center> |
- | *Si <math>r>1\;</math>, entonces <math>lim \ r^n \; = +\infty</math> y <math>lim \a_1 \cdot r^n = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1 \mbox{ >0} \\ 4, & \mbox{si }a_1 \mbox{ <0} \end{cases}</math> | + | *Si <math>r>1\;</math>, entonces <math>lim \ r^n \; = +\infty</math>{{b}} y {{b}}<math>lim \ a_1 r^n = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math> |
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Suma de los términos de una progresión geométrica
Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica
Sea una progresión geométrica de razón
y sea
la suma de sus n primeros términos
- Si
, entonces el límite de
existe y su valor es:
- Si
![lim \ S_n = S_{\infty}=\frac{a_1}{1-r}](/wikipedia/images/math/b/d/d/bdd4fc22eff3320a31b6da9ec81b98fb.png)
- Si
, entonces el límite de
es
:
- Si
![lim \ S_n = S_{\infty}=+\infty \;](/wikipedia/images/math/8/a/2/8a2e5cfe15eab4d842f3d732b717aa13.png)
- Si
, entonces el límite de
no existe.
- Si
- Si
, entonces
y también
.
Por ejemplo, si a1 = 3 y r = 0.5, al multiplicar sucesivas veces 3 por 0.5 (lo que equivale a dividir por 2), el resultado se aproxima cada vez más a cero. Entonces
![lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}](/wikipedia/images/math/a/1/5/a150cda897103bb8acac87e914b52f59.png)
- Si
, entonces
y
El número e
El número áureo, ![\phi \;](/wikipedia/images/math/9/a/f/9affcab55e4aa002efc90e45fe664b99.png)
La sucesión de Fibonacci y el número áureo
Si a partir de la sucesión de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...), construimos, por recurrencia, la sucesión , se cumple que:
![lim \ b_n=lim \ \cfrac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi = 1.618 \cdots](/wikipedia/images/math/e/b/1/eb1cecb7a3f1d436ae393e81d219af34.png)
Lo siguiente no es una demostración, sino una comprobación:
En efecto, si en la sucesión de Fibonacci
![1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots](/wikipedia/images/math/2/6/3/2637272e9b89a451884bf0203999b2d7.png)
dividimos cada término entre el anterior, tenemos:
![\cfrac{1}{1},\ \cfrac{2}{1},\ \cfrac{3}{2},\ \cfrac{5}{3},\ \cfrac{8}{5},\ \cfrac{13}{8},\ \cdots](/wikipedia/images/math/4/2/f/42f48e88df031560abc1a5992e2c1313.png)
que expresada con decimales nos da:
![1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \rightarrow \phi](/wikipedia/images/math/3/b/1/3b17212b81f45d9802f2e4793938cf92.png)
Video: La divina proporción. El número Phi. (6´)
Documental sobre la historia del número áureo, Phi
![(\phi)\;](/wikipedia/images/math/5/3/c/53c0b48cd85edb179c40de50ae363998.png)
Web: [Phi, el número de oro Phi, el número de oro]
A lo largo de la historia, Phi, el número de oro o número áureo, ha representado, para las personas que lo han conocido, la belleza, la magia, la perfección, lo divino. ¿Por qué?. Página elaborada por D. Luis Nicolás Ortiz.