Algunos límites importantes (1ºBach)

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Revisión de 18:38 12 ene 2009

Suma de los términos de una progresión geométrica

Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica

Sea $a_n\;$ una progresión geométrica de razón $r\;$ y sea $S_n=\frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}$ la suma de sus n primeros términos

Si $0<\; \mid r \mid \; <1$ , entonces el límite de $S_n\;$ existe y su valor es:

$lim \ S_n = S_{\infty}=\frac{a_1}{1-r}$

Si $r>1\;$ , entonces el límite de $S_n\;$ es $+\infty \;$ o $-\infty$ :

$lim \ S_n = S_{\infty}=\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}$

Si $r<-1\;$ , entonces el límite de $S_n\;$ no existe.

Demostración:[Mostrar]

El número e

El número áureo, $\phi \;$

La sucesión de Fibonacci y el número áureo

Si a partir de la sucesión de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...), construimos, por recurrencia, la sucesión $b_n=\cfrac{a_{n+1}}{a_n}$ , se cumple que:

$lim \ b_n=lim \ \cfrac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi = 1.618 \cdots$ (número áureo)

Demostración:[Mostrar]

Video: La divina proporción. El número Phi. (6´)

Sinopsis: [Mostrar]

Video:[Mostrar]

Web: [Phi, el número de oro Phi, el número de oro]

Descripción: [Mostrar]

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Algunos_l%C3%ADmites_importantes_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Números

 <center><math>lim \ S_n = S_{\infty}=\frac{a_1}{1-r}</math></center>
-::*Si <math>r>1\;</math>,  entonces el límite de <math>S_n\;</math> es <math>+\infty \;</math>:
+::*Si <math>r>1\;</math>,  entonces el límite de <math>S_n\;</math> es <math>+\infty \;</math> o <math>-\infty</math>:
-<center><math>lim \ S_n = S_{\infty}=+\infty \;</math></center>
+<center><math>lim \ S_n = S_{\infty}=\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center>
 ::*Si <math>r<-1\;</math>,  entonces el límite de <math>S_n\;</math> no existe.
 |demo=
-* Si <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, entonces <math>lim \ r^n  = 0 \;</math> y también <math>lim \ a_1 r^n = 0</math>.
+* Si <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, entonces
-(Por ejemplo, si <math>a_1=3</math> y <math>r=0.5</math>, al multiplicar sucesivas veces 3 por 0.5, lo que equivale a dividir por 2, el resultado se aproxima cada vez más a cero.
+<center><math>lim \ r^n  = 0 \;</math> y también <math>lim \ a_1 r^n = 0</math>.</center>
-Entonces
+(Por ejemplo, si <math>a_1=3</math> y <math>r=0.5</math>, al multiplicar sucesivas veces 3 por 0.5, lo que equivale a dividir por 2, el resultado se aproxima cada vez más a cero.)
+y por tanto
+<center><math>lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}</math></center>
+*Si <math>r>1\;</math>, entonces
+<center><math>lim \ r^n \; = +\infty</math>{{b}} y {{b}}<math>lim \ a_1  r^n = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center>
+(Por ejemplo, si <math>a_1=3</math> y <math>r=5</math>, al multiplicar sucesivas veces 3 por 5, el resultado se aproxima cada vez más a <math>+\infty</math>. Mientras que si <math>a_1=-3</math> y <math>r=5</math>, al multiplicar sucesivas veces -3 por 5, el resultado se aproxima cada vez más a <math>-\infty</math>)
+y por tanto
 <center><math>lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}</math></center>
-*Si <math>r>1\;</math>, entonces <math>lim \ r^n \; = +\infty</math>{{b}} y {{b}}<math>lim \ a_1  r^n = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math>
 }}

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