Algunos límites importantes (1ºBach)
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| ::* Si <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> existe y su valor es: | ::* Si <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> existe y su valor es: | ||
| - | <center><math>lim \ S_n = S_{\infty}=\frac{a_1}{1-r}</math></center> | + | <center><math>S_{\infty}=lim \ S_n = \frac{a_1}{1-r}</math></center> |
| ::*Si <math>r\ge 1\;</math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> es <math>+\infty \;</math> o <math>-\infty</math>: | ::*Si <math>r\ge 1\;</math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> es <math>+\infty \;</math> o <math>-\infty</math>: | ||
| - | <center><math>lim \ S_n = S_{\infty}=\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center> | + | <center><math>S_{\infty}=lim \ S_n =\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center> |
| ::*Si <math>r\le -1\;</math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> no existe. | ::*Si <math>r\le -1\;</math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> no existe. | ||
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| y por tanto | y por tanto | ||
| - | <center><math>lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}</math></center> | + | <center><math>S_{\infty}=lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}</math></center> |
| *Si <math>r>1\;</math>, entonces | *Si <math>r>1\;</math>, entonces | ||
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| y por tanto | y por tanto | ||
| - | <center><math>lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center> | + | <center><math>S_{\infty}= lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center> |
| *Si <math>r<-1\;</math>, entonces <math>a_1 r^n\;</math> va alternando valores positivos y negativos, cada vez mayores en valor absoluto, de manera que a la sucesión <math>S_n\;</math> también va a oscilar en signo y no tiene límite. | *Si <math>r<-1\;</math>, entonces <math>a_1 r^n\;</math> va alternando valores positivos y negativos, cada vez mayores en valor absoluto, de manera que a la sucesión <math>S_n\;</math> también va a oscilar en signo y no tiene límite. | ||
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| y la sucesión <math>S_n \;</math> sería: | y la sucesión <math>S_n \;</math> sería: | ||
| - | <center><math>a_1,\ -a_1,\ a_1,\ -a_1,\ \cdots</math></center> | + | <center><math>a_1,\ 0,\ a_1,\ 0,\ \cdots</math></center> |
| que oscila y no tiene límite. | que oscila y no tiene límite. | ||
| Línea 60: | Línea 60: | ||
| y tendríamos que <math>S_n = a_1 n \;</math>, cuyo límite es: | y tendríamos que <math>S_n = a_1 n \;</math>, cuyo límite es: | ||
| - | <center><math>lim \ S_n = S_n = lim \ a_1 n = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center> | + | <center><math>S_{\infty}=lim \ S_n = S_n = lim \ a_1 n = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center> |
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Revisión de 19:01 12 ene 2009
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Suma de los términos de una progresión geométrica
Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica
Sea 
una progresión geométrica de razón 
y sea 
la suma de sus n primeros términos
- Si
, entonces el límite de 
existe y su valor es:
- Si
- Si
, entonces el límite de es 
o 
:
- Si
- Si
, entonces el límite de no existe.
- Si
- Si , entonces
y también 
.(Por ejemplo, si a1 = 3 y r = 0.5, al multiplicar sucesivas veces 3 por 0.5, lo que equivale a dividir por 2, el resultado se aproxima cada vez más a cero.)
y por tanto
- Si
, entonces
y 
(Por ejemplo, si a1 = 3 y r = 5, al multiplicar sucesivas veces 3 por 5, el resultado se aproxima cada vez más a 
. Mientras que si a1 = − 3 y r = 5, al multiplicar sucesivas veces -3 por 5, el resultado se aproxima cada vez más a )
y por tanto
- Si
, entonces 
va alternando valores positivos y negativos, cada vez mayores en valor absoluto, de manera que a la sucesión también va a oscilar en signo y no tiene límite.
- Si
, el caso es muy sencillo, porque la progresión quedaría:
y la sucesión sería:
que oscila y no tiene límite.
- Si
, la progresión quedaría constante:
, .y tendríamos que 
, cuyo límite es:
El número e
El número áureo, 
La sucesión de Fibonacci y el número áureo
Si a partir de la sucesión de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...), construimos, por recurrencia, la sucesión 
, se cumple que:
(número áureo)Lo siguiente no es una demostración, sino una comprobación:
En efecto, si en la sucesión de Fibonacci
dividimos cada término entre el anterior, tenemos:
que expresada con decimales nos da:
Video: La divina proporción. El número Phi. (6´)
Documental sobre la historia del número áureo, Phi
y la divina proporción.
Web: [Phi, el número de oro Phi, el número de oro]
A lo largo de la historia, Phi, el número de oro o número áureo, ha representado, para las personas que lo han conocido, la belleza, la magia, la perfección, lo divino. ¿Por qué?. Página elaborada por D. Luis Nicolás Ortiz.
