Factorización de polinomios (1ºBach)

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:(Observa que primero hemos sacado factor común <math>x\;</math> y luiego hemos factorizado el polinomio de grado 2, como hicimos en el ejemplo anterior). :(Observa que primero hemos sacado factor común <math>x\;</math> y luiego hemos factorizado el polinomio de grado 2, como hicimos en el ejemplo anterior).
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 +===División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini===
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 +[[Image:Teorema.PNG|44px|left|ejercicio]]
 +<font color="SaddleBrown">'''Regla de Ruffini'''</font>
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 +La '''Regla de Ruffini''' nos permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma <math>(x-r)\;</math>, siendo <math>r\;</math> un número entero.
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 +Debemos esta regla al matemático italiano [[Ruffini|Paolo Ruffini]],
 +<div class="NavFrame" style="background: white; border: 0px solid #aaaaaa; padding:3px; margin-bottom:0em; margin-left:0em;">
 +<div class="NavHead rad" align="right" style="background: WhiteSmoke;">''Demostración:''</div><div class="NavContent" align="left">
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 +Vamos a dividir el polinomio
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 +entre el binomio
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 +para obtener el cociente
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 +y el resto <math>s\;</math>.
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 +1. Trazamos dos líneas a manera de ejes. Cogemos los coeficientes de ''P''(''x'') y los escribimos ordenados. Entonces escribimos ''r'' en la parte inferior izquierda del eje, encima de la línea:
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 +2. Pasamos el coeficiente más pegado a la izquierda (''a''<sub>''n''</sub>) abajo, justo debajo de la línea para obtener el primero de los coeficientes ''b'':
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 +3. Multiplicamos el número más pegado a la derecha debajo de la línea por ''r'' y lo escribimos sobre la línea en la primera posición de la derecha:
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 +4. Añadimos los dos valores que hemos puesto en la misma columna:
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 + | a<sub>n</sub> a<sub>n-1</sub>+(b<sub>n-1</sub>r)
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 +5. Repetimos los pasos 3 y 4 hasta que no tengamos más números:
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 + | = b<sub>n-1</sub> = b<sub>n-2</sub> ... = b<sub>0</sub> = s
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 +Los valores ''b'' son los coeficientes del polinomio resultante <math>C(x)\;</math>, el grado será menor que el grado de <math>P(x)\;</math>. El resto será <math>s\;</math>.
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 +<div style="background: white; padding:.75em; border:2px solid MediumBlue;border-left:4px solid MediumBlue;border-bottom:4px solid MediumBlue;">
 +[[Image:ejemplo_blue.png|44px|left|ejercicio]]
 +<font color="MediumBlue">'''Ejemplo: Regla de Ruffini'''</font>
 +----
 +Divide los polinomios usando la regla de [[Ruffini]]:
 +:<math> P(x)=7x^4-5x^3-4x^2+6x-1\,\! </math>
 +:<math> Q(x)=x-2\,\! </math>
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 +<div class="NavFrame" style="background: white; border: 0px solid #aaaaaa; padding:3px; margin-bottom:0em; margin-left:0em;">
 +<div class="NavHead rad" align="right" style="background: WhiteSmoke;">''Solución:''</div><div class="NavContent" align="left">
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 +|}
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 +|'''Operaciones:'''
 +* <math>2 \cdot 7=14\,\!</math>
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 +* <math>-5+14=9\,\!</math>
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 +* <math>2 \cdot 9 =18\,\!</math>
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 +* <math>-4+18=14\,\!</math>
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 +* <math>2\cdot 14=28\,\!</math>
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 +* <math>6+28=34\,\!</math>
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 +* <math>2 \cdot 34=68\,\!</math>
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 +* <math>-1+68=67\,\!</math>
 +|}
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 +El resultado significa que el cociente de la división <math>C(x)=7x^3+9x^2+14x+34\,\!</math> y el resto es <math>67\,\!</math>
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===Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2=== ===Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2===
*Siempre que se pueda, sacaremos x '''factor común'''. *Siempre que se pueda, sacaremos x '''factor común'''.

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Tabla de contenidos

Divisibilidad de polinomios

Polinomios múltiplos y divisores

La divisibilidad en el conjunto de los polinomios es muy similar a la .

Un polinomio D(x)\, es divisor de otro, P(x)\, y lo representaremos por P(x)|Q(x)\;, si la división P(x):\,D(x)\, es exacta. Es decir, cuando

P(x)=\,D(x)\cdot C(x)\,

En tal caso, diremos que P(x)\, es divisible por Q(x)\,. También diremos que P(x)\, es un múltiplo de D(x)\,.

Ejemplos: 
(3x+1) \cdot (x^2-5x+3) =3x^3-14x^2+4x+3 \Rightarrow (3x^3-14x^2+4x+3):(3x+1)=x^2-5x+3

La divisibilidad de polinomios es semejante a la divisibilidad con números enteros. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de máximo común divisor, mínimo común múltiplo e irreducibilidad son similares a los correspondientes conceptos numéricos.

Polinomios irreducibles

Un polinomio P(x)\, es irreducible cuando ningún polinomio de grado inferior es divisor suyo.

Ejemplos: 

Son polinomios irreducibles, entre otros:

  • Los de primer grado: 3x,\ x-3,\ 5x-3\ \cdots \;
  • Los de segundo grado sin raíces: x^2+1,\ 2x^2-3x+5 \cdots \;

Factorización de polinomios

Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.

Factorización de polinomios de grado 2

ejercicio

Factorización de polinomios de segundo grado

Un polinomio de segundo grado, kx^2+mx+n\;, con raíces rales, a\; y b\;, se puede factorizar de la forma

k(x-a)(x-b)\;

Demostración:

Ejemplos: 
  • El polinomio 5x^2+5x-60\; tiene dos raíces: x_1=3,\ x_2=-4, que se obtienen de resolver la ecuación de segundo grado 5x^2+5x-60=0\;. Entonces:

5x^2+5x-60=5(x-3)(x+4)\;

  • El polinomio incompleto de grado 3, 5x^3+5x^2-60x\;, se puede descomponer de la siguiente manera:

5x^3+5x^2-60x=x(5x^2+5x-60)=5x(x-3)(x+4)\;

(Observa que primero hemos sacado factor común x\; y luiego hemos factorizado el polinomio de grado 2, como hicimos en el ejemplo anterior).

División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini

ejercicio

Regla de Ruffini

La Regla de Ruffini nos permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma (x-r)\;, siendo r\; un número entero.

Debemos esta regla al matemático italiano Paolo Ruffini,

Demostración:

Vamos a dividir el polinomio

P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0

entre el binomio

Q(x)=x-r\,\!

para obtener el cociente

C(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0

y el resto s\;.

1. Trazamos dos líneas a manera de ejes. Cogemos los coeficientes de P(x) y los escribimos ordenados. Entonces escribimos r en la parte inferior izquierda del eje, encima de la línea: 

    |        an        an-1       ...        a1         a0
    |                                    
 r  |                                    
----|---------------------------------------------------------
    |                                    
    |

2. Pasamos el coeficiente más pegado a la izquierda (an) abajo, justo debajo de la línea para obtener el primero de los coeficientes b: 

    |        an        an-1       ...        a1         a0
    |                                    
  r |                                    
----|---------------------------------------------------------
    |        an                     
    |
    |  = bn-1                                
    |

3. Multiplicamos el número más pegado a la derecha debajo de la línea por r y lo escribimos sobre la línea en la primera posición de la derecha: 

    |        an        an-1       ...        a1         a0
    |
  r |                  bn-1r
----|---------------------------------------------------------
    |        an
    |
    |      = bn-1                                
    |

4. Añadimos los dos valores que hemos puesto en la misma columna: 

    |        an        an-1       ...        a1         a0
    |
  r |                  bn-1r
----|---------------------------------------------------------
    |        an     an-1+(bn-1r)
    |
    |      = bn-1     = bn-2                                
    |

5. Repetimos los pasos 3 y 4 hasta que no tengamos más números: 

    |        an        an-1       ...        a1         a0
    |
  r |                  bn-1r      ...        b1r        b0r
----|---------------------------------------------------------
    |        an     an-1+(bn-1r)  ...       a1+b1r       a0+b0r
    |
    |      = bn-1     = bn-2      ...       = b0        = s
    |

Los valores b son los coeficientes del polinomio resultante C(x)\;, el grado será menor que el grado de P(x)\;. El resto será s\;.


ejercicio

Ejemplo: Regla de Ruffini

Divide los polinomios usando la regla de Ruffini:

P(x)=7x^4-5x^3-4x^2+6x-1\,\!
Q(x)=x-2\,\!
Solución:
7 -5 -4 6 -1
2   14 18 28 68
7 9 14 34 67
  Operaciones:
  • 2 \cdot 7=14\,\!
  • -5+14=9\,\!
  • 2 \cdot 9 =18\,\!
  • -4+18=14\,\!
  • 2\cdot 14=28\,\!
  • 6+28=34\,\!
  • 2 \cdot 34=68\,\!
  • -1+68=67\,\!

El resultado significa que el cociente de la división C(x)=7x^3+9x^2+14x+34\,\! y el resto es 67\,\!

Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2

  • Siempre que se pueda, sacaremos x factor común.
  • Mediante la regla de Ruffini buscaremos las raíces enteras del polinomio, que se hallan entre los divisores del término independiente. Así, si encontramos una raíz x=a\; de un polinomio P(x)\;, tendremos que P(x)=(x-a)Q(x)\;, donde Q(x)\; tiene un grado menos que P(x)\;.
  • Si es un polinomio bicuadrado, ax^4+bx^2+c\;, podremos hallarle las raices resolviendo la ecuación bicuadrada que resulta de igualarlo a cero.
  • Si un polinomio de grado mayor que 2 no puede factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con lo sconocimientos que tenemos.
Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Factorizaci%C3%B3n_de_polinomios_%281%C2%BABach%29"
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