Factorización de polinomios (1ºBach)

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1 Divisibilidad de polinomios
- 1.1 Polinomios múltiplos y divisores
- 1.2 Polinomios irreducibles
2 Factorización de polinomios

Divisibilidad de polinomios

Polinomios múltiplos y divisores

La divisibilidad en el conjunto de los polinomios es muy similar a la .

Un polinomio $D(x)\,$ es divisor de otro, $P(x)\,$ y lo representaremos por $P(x)|Q(x)\;$ , si la división $P(x):\,D(x)\,$ es exacta. Es decir, cuando

$P(x)=\,D(x)\cdot C(x)\,$

En tal caso, diremos que $P(x)\,$ es divisible por $Q(x)\,$ . También diremos que $P(x)\,$ es un múltiplo de $D(x)\,$ .

Ejemplos: [Mostrar]

La divisibilidad de polinomios es semejante a la divisibilidad con números enteros. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de máximo común divisor, mínimo común múltiplo e irreducibilidad son similares a los correspondientes conceptos numéricos.

Polinomios irreducibles

Un polinomio $P(x)\,$ es irreducible cuando ningún polinomio de grado inferior es divisor suyo.

Ejemplos: [Mostrar]

Factorización de polinomios

Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.

Factorización de polinomios de grado 2

Factorización de polinomios de segundo grado

Un polinomio de segundo grado, $kx^2+mx+n\;$ , con raíces rales, $a\;$ y $b\;$ , se puede factorizar de la forma

$k(x-a)(x-b)\;$

Demostración:[Mostrar]

Ejemplos: [Mostrar]

División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini

Regla de Ruffini

La Regla de Ruffini nos permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma $(x-r)\;$ , siendo $r\;$ un número entero.

Debemos esta regla al matemático italiano Paolo Ruffini,

Demostración:[Mostrar]

Vamos a dividir el polinomio

$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$

entre el binomio

$Q(x)=x-r\,\!$

para obtener el cociente

$C(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0$

y el resto $s\;$ .

1. Trazamos dos líneas a manera de ejes. Cogemos los coeficientes de P(x) y los escribimos ordenados. Entonces escribimos r en la parte inferior izquierda del eje, encima de la línea:

    |        a_n        a_n-1       ...        a₁         a₀
    |                                    
 r  |                                    
----|---------------------------------------------------------
    |                                    
    |

2. Pasamos el coeficiente más pegado a la izquierda (a_n) abajo, justo debajo de la línea para obtener el primero de los coeficientes b:

    |        a_n        a_n-1       ...        a₁         a₀
    |                                    
  r |                                    
----|---------------------------------------------------------
    |        a_n                     
    |
    |  = b_n-1                                
    |

3. Multiplicamos el número más pegado a la derecha debajo de la línea por r y lo escribimos sobre la línea en la primera posición de la derecha:

    |        a_n        a_n-1       ...        a₁         a₀
    |
  r |                  b_n-1r
----|---------------------------------------------------------
    |        a_n
    |
    |      = b_n-1                                
    |

4. Añadimos los dos valores que hemos puesto en la misma columna:

    |        a_n        a_n-1       ...        a₁         a₀
    |
  r |                  b_n-1r
----|---------------------------------------------------------
    |        a_n     a_n-1+(b_n-1r)
    |
    |      = b_n-1     = b_n-2                                
    |

5. Repetimos los pasos 3 y 4 hasta que no tengamos más números:

    |        a_n        a_n-1       ...        a₁         a₀
    |
  r |                  b_n-1r      ...        b₁r        b₀r
----|---------------------------------------------------------
    |        a_n     a_n-1+(b_n-1r)  ...       a₁+b₁r       a₀+b₀r
    |
    |      = b_n-1     = b_n-2      ...       = b₀        = s
    |

Los valores b son los coeficientes del polinomio resultante $C(x)\;$ , el grado será menor que el grado de $P(x)\;$ . El resto será $s\;$ .

Ejemplo: Regla de Ruffini

Divide los polinomios usando la regla de Ruffini:

$P(x)=7x^4-5x^3-4x^2+6x-1\,\!$

$Q(x)=x-2\,\!$

Solución:[Mostrar]

Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2

Siempre que se pueda, sacaremos x factor común.
Mediante la regla de Ruffini buscaremos las raíces enteras del polinomio, que se hallan entre los divisores del término independiente. Así, si encontramos una raíz $x=a\;$ de un polinomio $P(x)\;$ , tendremos que $P(x)=(x-a)Q(x)\;$ , donde $Q(x)\;$ tiene un grado menos que $P(x)\;$ .
Si es un polinomio bicuadrado, ax^4+bx^2+c\;, podremos hallarle las raices resolviendo la ecuación bicuadrada que resulta de igualarlo a cero.
Si un polinomio de grado mayor que 2 no puede factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con lo sconocimientos que tenemos.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Factorizaci%C3%B3n_de_polinomios_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Álgebra

 :(Observa que primero hemos sacado factor común <math>x\;</math> y luiego hemos factorizado el polinomio de grado 2, como hicimos en el ejemplo anterior).
 }}
+{{p}}
+===División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini===
+<div style="background: white; border: 2px solid Goldenrod;border: 2px solid Goldenrod;border-left: 4px solid Goldenrod;border-bottom: 4px solid Goldenrod; padding:.75em;">
+[[Image:Teorema.PNG|44px|left|ejercicio]]
+<font color="SaddleBrown">'''Regla de Ruffini'''</font>
+----
+La '''Regla de Ruffini''' nos permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma <math>(x-r)\;</math>, siendo <math>r\;</math> un número entero.
+Debemos esta regla al matemático italiano [[Ruffini|Paolo Ruffini]],
+<div class="NavFrame" style="background: white; border: 0px solid #aaaaaa; padding:3px; margin-bottom:0em; margin-left:0em;">
+<div class="NavHead rad" align="right" style="background: WhiteSmoke;">''Demostración:''</div><div class="NavContent" align="left">
+----
+Vamos a dividir el polinomio
+<center><math>P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0</math></center>
+entre el binomio
+<center><math>Q(x)=x-r\,\!</math></center>
+para obtener el cociente
+<center><math>C(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0</math></center>
+y el resto <math>s\;</math>.
+. Trazamos dos líneas a manera de ejes. Cogemos los coeficientes de ''P''(''x'') y los escribimos ordenados. Entonces escribimos ''r'' en la parte inferior izquierda del eje, encima de la línea:
+     |        a<sub>n</sub>        a<sub>n-1</sub>       ...        a<sub>1</sub>         a<sub>0</sub>
+     |
+  r  |
+ ----|---------------------------------------------------------
+     |
+     |
+. Pasamos el coeficiente más pegado a la izquierda (''a''<sub>''n''</sub>) abajo, justo debajo de la línea para obtener el primero de los coeficientes ''b'':
+     |        a<sub>n</sub>        a<sub>n-1</sub>       ...        a<sub>1</sub>         a<sub>0</sub>
+     |
+   r |
+ ----|---------------------------------------------------------
+     |        a<sub>n</sub>
+     |
+     |  = b<sub>n-1</sub>
+     |
+. Multiplicamos el número más pegado a la derecha debajo de la línea por ''r'' y lo escribimos sobre la línea en la primera posición de la derecha:
+     |        a<sub>n</sub>        a<sub>n-1</sub>       ...        a<sub>1</sub>         a<sub>0</sub>
+     |
+   r |                  b<sub>n-1</sub>r
+ ----|---------------------------------------------------------
+     |        a<sub>n</sub>
+     |
+     |      = b<sub>n-1</sub>
+     |
+. Añadimos los dos valores que hemos puesto en la misma columna:
+     |        a<sub>n</sub>        a<sub>n-1</sub>       ...        a<sub>1</sub>         a<sub>0</sub>
+     |
+   r |                  b<sub>n-1</sub>r
+ ----|---------------------------------------------------------
+     |        a<sub>n</sub>     a<sub>n-1</sub>+(b<sub>n-1</sub>r)
+     |
+     |      = b<sub>n-1</sub>     = b<sub>n-2</sub>
+     |
+. Repetimos los pasos 3 y 4 hasta que no tengamos más números:
+     |        a<sub>n</sub>        a<sub>n-1</sub>       ...        a<sub>1</sub>         a<sub>0</sub>
+     |
+   r |                  b<sub>n-1</sub>r      ...        b<sub>1</sub>r        b<sub>0</sub>r
+ ----|---------------------------------------------------------
+     |        a<sub>n</sub>     a<sub>n-1</sub>+(b<sub>n-1</sub>r)  ...       a<sub>1</sub>+b<sub>1</sub>r       a<sub>0</sub>+b<sub>0</sub>r
+     |
+     |      = b<sub>n-1</sub>     = b<sub>n-2</sub>      ...       = b<sub>0</sub>        = s
+     |
+Los valores ''b'' son los coeficientes del polinomio resultante <math>C(x)\;</math>, el grado será menor que el grado de <math>P(x)\;</math>. El resto será <math>s\;</math>.
+</div>
+</div>
+</div>
+<div style="background: white; padding:.75em; border:2px solid MediumBlue;border-left:4px solid MediumBlue;border-bottom:4px solid MediumBlue;">
+[[Image:ejemplo_blue.png|44px|left|ejercicio]]
+<font color="MediumBlue">'''Ejemplo: Regla de Ruffini'''</font>
+----
+Divide los polinomios usando la regla de [[Ruffini]]:
+:<math> P(x)=7x^4-5x^3-4x^2+6x-1\,\! </math>
+:<math> Q(x)=x-2\,\! </math>
+<div class="NavFrame" style="background: white; border: 0px solid #aaaaaa; padding:3px; margin-bottom:0em; margin-left:0em;">
+<div class="NavHead rad" align="right" style="background: WhiteSmoke;">''Solución:''</div><div class="NavContent" align="left">
+----
+::{|
+|
+{|
+|- style="height:50px"
+|
+|align="center" style="width:25px; border-left:1px solid black"|7
+|align="center" style="width:25px"| -5
+|align="center" style="width:25px"| -4
+|align="center" style="width:25px"|6
+|align="center" style="width:25px"| -1
+|-
+|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|2
+|align="center" style="border-left:1px solid black; border-bottom:1px solid black"|&nbsp;
+|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|14
+|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|18
+|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|28
+|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|68
+|-
+|
+|align="center" style="border-left:1px solid black"|7
+|align="center"|9
+|align="center"|14
+|align="center"|34
+|align="center" style="border-left:1px solid black; border-bottom:1px solid black"|67
+|}
+|style="width:80px"|&nbsp;
+|'''Operaciones:'''
+* <math>2 \cdot 7=14\,\!</math>
+* <math>-5+14=9\,\!</math>
+* <math>2 \cdot 9 =18\,\!</math>
+* <math>-4+18=14\,\!</math>
+* <math>2\cdot 14=28\,\!</math>
+* <math>6+28=34\,\!</math>
+* <math>2 \cdot 34=68\,\!</math>
+* <math>-1+68=67\,\!</math>
+|}
+El resultado significa que el cociente de la división <math>C(x)=7x^3+9x^2+14x+34\,\!</math> y el resto es <math>67\,\!</math>
+</div>
+</div>
+</div>
+{{p}}
 ===Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2===
 *Siempre que se pueda, sacaremos x '''factor común'''.

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