Resolución de ecuaciones (1ºBach)

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Revisión de 19:06 13 ene 2009

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Tabla de contenidos

1 Ecuación de segundo grado
2 Ecuaciones bicuadradas
3 Ecuaciones con la x en el denominador
4 Ecuaciones con radicales
5 Ecuaciones factorizadas
6 Ecuaciones exponenciales
7 Ecuaciones logarítmicas

Ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado con una incógnita, $x\;\!$ , es aquella que tiene la siguiente expresión, que llamaremos forma general.

$ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0$

Resolución de la ecuación de segundo grado

Fórmula de la ecuación de segundo grado

Las soluciones de la ecuación de segundo grado son:

$x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

donde el signo $(\pm)$ significa que una solución se obtiene con el signo $(+)\;\!$ y otra con el signo $(-)\;\!$ .

Demostración:

1. Se divide la ecuación por $a\;\!$ :

$x^2+ \cfrac{b}{a}x+ \cfrac{c}{a}=0$

2. Se multiplica y divide por $2\;\!$ el coeficiente de la $x\;\!$ :

$x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}=0$

3. Se suma alos dos miembros de la igualdad $\cfrac{b^2}{4a^2}$ :

$x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}$

4. Se pasa restando a la derecha $\cfrac{c}{a}$ :

$x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}$

5. Observando que el lado izquierdo es el desarrollo de $\left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2$ :

$\left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}$

6. Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros:

$x+\cfrac{b}{2a}=\pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}$

7. Se despeja x:

$x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}$

8. Se simplifica la expresión:

$x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}}=- \cfrac{b}{2a} \pm \cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=- \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Ejemplo: Resolución de la ecuación de segundo grado

Ejemplos de ecuaciones de segundo grado resueltas.

Solución:

Pulsa "Inicio" para ver otros ejemplos:

Discriminante de una ecuación de segundo grado

Llamamos discriminante de una ecuación de segundo grado a:

$\triangle = b^2-4ac$

por tanto:

Si $\triangle <0$ la ecuación no tiene solución.
Si $\triangle >0$ la ecuación tiene dos soluciones.
Si $\triangle =0$ la ecuación tiene una solución (doble).

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Una ecuación de segundo grado $ax^2+bx+c=0\;\!$ es incompleta, si ocurre uno de los siguientes casos:

$b=0\;\!$ : $(ax^2+c=0\;\!)$

En este caso las soluciones se obtienen despejando x:

$ax^2+c=0; \quad ax^2=-c; \quad x=-\cfrac{c}{a};\quad x=\pm \sqrt {-\cfrac{c}{a}}$

$c=0\;\!$ : $(ax^2+bx=0\;\!)$

En este caso, sacando factor común e igualando a cero cada factor:

$ax^2+bx =0; \quad x \cdot (ax+b)=0 \quad \left \{ \begin{matrix} x_1=0 \\ x_2=-\cfrac{b}{a} \end{matrix} \right .$

Ejemplo: Ecuaciones de segundo grado incompletas

Ejemplos de ecuaciones de segundo grado incompletas resueltas.

Solución:

Pulsa "INICIO" para ver otros ejemplos:

Caso 1: $b=0\;\!$ : $(ax^2+c=0\;\!)$

Click aquí si no se ve bien la escena

Caso 2: $c=0\;\!$ : $(ax^2+bx=0\;\!)$

Click aquí si no se ve bien la escena

Ecuaciones bicuadradas

Las ecuaciones bicuadradas Son ecuaciones de cuarto grado pero tienen una característica que las hace especiales: no tienen terminos de grado impar, es decir son de la forma

$ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!$

El truco para resolverlas es hacer el cambio de variable $x^2=y\,\!$ . Entonces, la ecuación quedará como una de segundo grado

$ay^2 + by + c = 0 \,\!$

Una vez resuelta esta ecuación en $y\;$ , tenemos que averiguar el valor de la $x\;$ . Para ello desharemos el cambio de variable, haciendo $x=\pm \sqrt{y}$ . En consecuencia, las soluciones $y<0\,\!$ , las rechazaremos, ya que no darán solución para la $x\,\!$ , quedándonos sólo con las soluciones de $y\,\!$ no negativas, cada una de las cuales dará dos soluciones para la $x\,\!$ .

Ejemplo: Ecuaciones bicuadradas

Resuelve las ecuaciones:

a) $x^4 - 7x^2 + 6 = 0\;\!$

b) $x^4 - 3x^2 - 10 = 0\;\!$

c) $x^4 - 9x^2 = 0 \;\!$

Solución:

a) $x^4 - 7x^2 + 6 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-7y+6=0$

$y = \frac{7 \pm \sqrt{49-24}}{2}=\frac{7 \pm 5}{2} \rightarrow \begin{cases} y=1 \rightarrow x= \pm \sqrt 1 = \pm 1 \\ y=6 \rightarrow x= \pm \sqrt 6 \end{cases}$

Soluciones: $-1,\, 1,\, -\sqrt 6,\, \sqrt 6\,\!$

b) $x^4 - 3x^2 - 10 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-3y-10=0$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9+40}}{2}=\frac{3 \pm 7}{2} \rightarrow \begin{cases} y=-2 \rightarrow \mbox {No existe solucion para x} \\ y=5 \rightarrow x= \pm \sqrt 5 \end{cases}$

Soluciones: $-\sqrt 5,\, \sqrt 5\,\!$

c) $x^4 - 9x^2 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-9y=0$

$y(y-9)=0 \rightarrow \begin{cases} y=0 \rightarrow x= 0 \\ y=9 \rightarrow x= \pm \sqrt 9 = \pm 3 \end{cases}$

Soluciones: $0,\, -3,\, 3\,\!$

Ecuaciones con la x en el denominador

Las ecuaciones que tienen la incógnita en el denominador, laspuedes resolver de forma análoga a las que tienen números en el denominador, es decir, haciendo el mínimo común múltiplo de los denominadores. A continuación se divide el m.c.m. entre cada denominador y se multiplica el resultado por su respectivo numerador, Esto se hace con los dos miembros de la ecuación.De esta forma desaparecen los denominadores y la ecuación resultante ya es más sencilla de resolver.

En estos procesos de multiplicar los miembros de la ecuación por polinomios, pueden aparecer soluciones falsas. Por tanto, al terminar, siempre debemos comprobar todas las posibles soluciones obtenidas.

Ejemplo: Ecuaciones con x en el denominador

Resuelve las ecuación: $\frac{1} {x}- \frac{1} {x+3} = \frac{3} {10}$

Solución:

El m.c.m. de los denominadores es $10x(x+3)\,\!$ . Lo dividimos por cada denominador y multiplicamos el resultado por el numerador, de manera que los denominadores desaparecen:

$10(x+3)-10x = 3x(x+3)\;$

Simplificamos la ecuación resultante:

$10x+30-10x = 3x^2+9x \rightarrow 3x^2+9x-30 = 0 \rightarrow x^2+3x-10 = 0$

Y la resolvemos:

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9+40}} {2} = \frac{-3 \pm 7} {2}$

Hay dos soluciones: $x=2\;$ y $x=-5\;$ . Ambas se deben comprobar en la ecuación inicial y resultan ser válidas:

$\frac{1} {2}- \frac{1} {5}= \frac{5-2} {10} = \frac{3} {10}$

$\frac{1} {-5}- \frac{1} {-2}= \frac{-1} {5}+ \frac{1} {2} = \frac{3} {10}$

Ecuaciones con radicales

Las ecuaciones con radicales son aquellas que tienen la x dentro de raices cuadradas. Para solucionarlas hay que aislar las raices una a una e ir elevando al cuadrado para eliminarlas.

Al elevar al cuadrado para buscar la solución, pueden aparecer soluciones erroneas. Por eso, al finalizar, hay que hacer la comprobación en la ecuación inicial para detectar y recharzar las que no sean válidas.

Ejemplo: Ecuaciones con radicales

Resuelve las ecuaciones:

a) $\sqrt{3x-5} +1=x\;\!$

b) $\sqrt{2x-3} + \sqrt{x+7} = 4 \;\!$

Solución:

a) $\sqrt{3x-5} +1=x$

$\sqrt{3x-5}=x-1$

Se elevan al cuadrado los dos lados de la ecuación:

$3x-5=x^2-2x+1 \rightarrow x^2 -5x + 6 \rightarrow x_1=2 \ x_2=3 \,\!$

Comprobación: $\begin{cases} \sqrt{3 \cdot 2 - 5} + 1 = \sqrt{1} + 1 = 2 \ \mbox{valida} \\ \sqrt{3 \cdot 3 - 5} + 1 = \sqrt{4} + 1 = 3 \ \mbox{valida} \end{cases}$

b) $\sqrt{2x-3} + \sqrt{x+7} = 4$

Despejamos la primera raíz (Podíamos haber empezado por la segunda)

$\sqrt{2x-3} = 4 - \sqrt{x+7}$

Se elevan al cuadrado los dos lados del igual

$2x-3 = 16 + (x+7) -8\sqrt{x+7}$

Aislamos la raíz

$x -26 = -8\sqrt{x+7}$

Se elevan al cuadrado los dos lados del igual

$x^2-52x+676=64(x+7) \rightarrow x^2-116x+228=0 \rightarrow x_1=2 \ x_2=114$

Comprobación $\begin{cases} x_1=2 \rightarrow \sqrt{2 \cdot 2 -3} \sqrt{2+7}=\sqrt{1}+\sqrt{9} = 1+3=4 \ \mbox{valida} \\ x_2=114 \rightarrow \sqrt{2 \cdot 114 - 3} + \sqrt{114+7}=15+11 \ne 4 \ \mbox{no valida} \end{cases}$

Ecuaciones factorizadas

Las ecuaciones factorizadas son ecuaciones del tipo:

$(...) \cdot (...) \cdot (...) = 0$

donde cada factor $(...)\;$ es una expresión algebraica.

Como para que un producto sea cero basta con que uno de los factores sea cero, tenemos que igualar a cero cada factor y resolver la ecuación resultante.

Ejemplo: Ecuación factorizada

Resuelve la ecuación $x \cdot (x-5)\cdot (3x+1)=0\;\!$

Solución:

$x \cdot (x-5)\cdot (3x+1)=0\;\! \rightarrow \begin{cases} x = 0 \\ x-5=0 \rightarrow x=5 \\ 3x+1=0 \rightarrow 3x=-1 \rightarrow x= -\cfrac{1} {3} \end{cases}$

Ecuaciones exponenciales

Las ecuaciones exponenciales son ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente.

Ejemplo: Ecuación exponencial

Resuelve las ecuaciónes siguientes:

a) $2^{x^2-1}=\cfrac{1}{8}\;$

b) $2^x+2^{x+1}=12\;$

Solución:

a) $2^{1-x^2}=\cfrac{1}{8}$

Expresamos el segundo miembro como potencia de 2:

$2^{1-x^2}=2^{-3}$

Como las bases son iguales, los exponentes deben ser iguales:

$1-x^2=-3\;$

Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta:

$1-x^2=-3 \ \rightarrow \ x^2=4 \ \rightarrow \ x=\pm 2$

Soluciones: $x_1=2 \, \ x_2=-2$

b) $2^x+2^{x+1}=12\;$

Hacemos el siguiente cambio de variable:

$2^x=y\;$

Así nuestra ecuación queda:

$2^x+2^{x+1}=12 \ \rightarrow \ 2^x+2 \cdot 2^x=12 \ \rightarrow \ y+2y=12 \ \rightarrow \ y=4$

Ahora hay que deshacer el cambio de variable:

$2^x=y \ \rightarrow \ 2^x=4 \ \rightarrow \ 2^x=2^2 \ \rightarrow \ x=2$

Solución: $x=2\;$

Ecuaciones logarítmicas

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita aparece como parte de un logaritmo.

Ejemplo: Ecuación exponencial

Resuelve las ecuaciónes siguientes:

a) $2^{x^2-1}=\cfrac{1}{8}\;$

b) $2^x+2^{x+1}=12\;$

Solución:

a) $2^{1-x^2}=\cfrac{1}{8}$

Expresamos el segundo miembro como potencia de 2:

$2^{1-x^2}=2^{-3}$

Como las bases son iguales, los exponentes deben ser iguales:

$1-x^2=-3\;$

Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta:

$1-x^2=-3 \ \rightarrow \ x^2=4 \ \rightarrow \ x=\pm 2$

Soluciones: $x_1=2 \, \ x_2=-2$

b) $2^x+2^{x+1}=12\;$

Hacemos el siguiente cambio de variable:

$2^x=y\;$

Así nuestra ecuación queda:

$2^x+2^{x+1}=12 \ \rightarrow \ 2^x+2 \cdot 2^x=12 \ \rightarrow \ y+2y=12 \ \rightarrow \ y=4$

Ahora hay que deshacer el cambio de variable:

$2^x=y \ \rightarrow \ 2^x=4 \ \rightarrow \ 2^x=2^2 \ \rightarrow \ x=2$

Solución: $x=2\;$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Resoluci%C3%B3n_de_ecuaciones_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Álgebra

 ==Ecuaciones logarítmicas==
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