Factorización de polinomios (4ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

[esconder]

Teorema del resto

ejercicio

Teoerma del Resto


El valor que toma un polinomio, P(x)\;, cuando hacemos x=a\;, coincide con el resto de la división de P(x)\; entre (x-a)\;. Es decir, P(a)\,= r\,, donde r\, es el resto de dicha división.

ejercicio

Ejemplo: Teorema del Resto


Calcula el resto de dividir el polinomio P(x) = x^3 - 3x^2 - 7\, entre (x-2)\;

Raíces de un polinomio

Un número a\, es una raíz de un polinomio P(x)\, si P(a)\, = 0\,. Dicho de otra forma, las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación P(x)\,= 0\,.

ejercicio

Corolario al Teorema del Resto


Si x=a\; es una raíz de un polinomio P(x)\;, entonces (x-a)\; es un factor de dicho polinomio.

Raíces enteras de un polinomio

Tenemos un polinomio P(x)\,\! con raíces entera y queremos encontrarlas. Para hacerlo tenemos que ir probando a dividirlo por (x-a)\,\!, pero ¿qué valor puede tomar a\,\!? El siguiente resultado nos da la respuesta:

ejercicio

Teorema


Las raíces enteras de un polinomio son divisores de su término independiente.

Factorización de polinomios

Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.

Factorización de polinomios de grado 2

ejercicio

Factorización de polinomios de segundo grado


Un polinomio de segundo grado, kx^2+mx+n\;, con raíces rales, a\; y b\;, se puede factorizar de la forma

k(x-a)(x-b)\;

ejercicio

Ejemplos: Factorización de polinomios de segundo grado y reducibles


Factoriza los siguientes polinomios

a) 5x^2+5x-60\;
b) 5x^3+5x^2-60x\;

Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2

  • Siempre que se pueda, sacaremos x\; factor común.
  • Mediante la regla de Ruffini buscaremos las raíces enteras del polinomio, que se hallan entre los divisores del término independiente. Así, si encontramos una raíz x=a\; de un polinomio P(x)\;, tendremos que P(x)=(x-a)Q(x)\;, donde Q(x)\; tiene un grado menos que P(x)\;.

Un polinomio de grado mayor que 2 no pueda factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con los conocimientos que tenemos.

Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini

Para factorizar un polinomio mediante la regla de Ruffini, aplicaremos ésta sucesivamente, utilizando como candidatos a raíces los divisores del término independiente, hasta que nos quede un polinomio de segundo grado. Cuando estemos en este punto, aplicaremos la fórmula de la ecuación de segundo grado y obtendremos las dos últimas raíces y por tanto los dos últimos factores. Esto será así, siempre y cuando, el discriminante de la ecuación no sea negativo, ya que de serlo, no habrá más raíces y no podremos descomponerlo más.

ejercicio

Ejemplo: Factorización de polinomios


Factoriza el siguiente polinomio:

P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2\,\!
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