Factorización de polinomios (1ºBach)

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===Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini=== ===Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini===
-Para factorizar un polinomio mediante la regla de [[Ruffini]], aplicaremos ésta sucesivamente, utilizando como candidatos a raíces los divisores del término independiente, hasta que nos quede un polinomio de segundo grado. Cuando estemos en este punto, aplicaremos la fórmula de la ecuación de segundo grado y obtendremos las dos últimas raíces y por tanto los dos últimos factores. Esto será así, siempre y cuando, el discriminante de la ecuación no sea negativo, ya que de serlo, no habrá más raíces y no podremos descomponerlo más.+{{Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini}}
-{{p}}+
-{{Ejemplo|titulo= Ejemplo: ''Factorización de polinomios''+
-|enunciado=+
-Factoriza el siguiente polinomio:+
-::<math>P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2\,\!</math>+
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-Primero sacamos factor común <math>3x^2\,\!</math>:+
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-Ahora aplicamos Ruffini. Los divisores de <math>70\,\!</math> son <math>1,\ -1,\ 2,\ -2,\ 5,\ -5,\ \mbox{etc.}\,\!</math>+
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-Empezaremos probando con el 1:+
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-El resto vuelve a ser diferente de cero, probamos con 2:+
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-Ya hemos encontrado otra raíz, <math>x=2\;</math>, y el factor correspondiente, <math>(x-2)\;</math>.+
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-El polinomio quedará de la siguiente forma:+
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-Finalmente para encontrar las dos últimas raíces utilizamos la fórmula de la ecuación de 2º grado:+
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-Así, sus raíces son 5 y -7 y sus factores (x-5) y (x+7).+
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-De esta manera:+
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-Con lo que queda descompuesto el polinomio.+
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Tabla de contenidos

Divisibilidad de polinomios

Polinomios múltiplos y divisores

La divisibilidad en el conjunto de los polinomios es muy similar a la .

Un polinomio D(x)\, es divisor de otro, P(x)\, y lo representaremos por P(x)|Q(x)\;, si la división P(x):\,D(x)\, es exacta. Es decir, cuando

P(x)=\,D(x)\cdot C(x)\,

En tal caso, diremos que P(x)\, es divisible por Q(x)\,. También diremos que P(x)\, es un múltiplo de D(x)\,.

Ejemplos: 
(3x+1) \cdot (x^2-5x+3) =3x^3-14x^2+4x+3 \Rightarrow (3x^3-14x^2+4x+3):(3x+1)=x^2-5x+3

La divisibilidad de polinomios es semejante a la divisibilidad con números enteros. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de máximo común divisor, mínimo común múltiplo e irreducibilidad son similares a los correspondientes conceptos numéricos.

Polinomios irreducibles

Un polinomio P(x)\, es irreducible cuando ningún polinomio de grado inferior es divisor suyo.

Ejemplos: 

Son polinomios irreducibles, entre otros:

  • Los de primer grado: 3x,\ x-3,\ 5x-3\ \cdots \;
  • Los de segundo grado sin raíces: x^2+1,\ 2x^2-3x+5 \cdots \;

Factorización de polinomios

Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.

Factorización de polinomios de grado 2

ejercicio

Factorización de polinomios de segundo grado

Un polinomio de segundo grado, kx^2+mx+n\;, con raíces rales, a\; y b\;, se puede factorizar de la forma

k(x-a)(x-b)\;

Demostración:

ejercicio

Ejemplos: Factorización de polinomios de segundo grado y reducibles

Factoriza los siguientes polinomios

a) 5x^2+5x-60\;
b) 5x^3+5x^2-60x\;
Solución:
  • El polinomio 5x^2+5x-60\; tiene dos raíces: x_1=3,\ x_2=-4, que se obtienen de resolver la ecuación de segundo grado 5x^2+5x-60=0\;. Entonces:

5x^2+5x-60=5(x-3)(x+4)\;

  • El polinomio incompleto de grado 3, 5x^3+5x^2-60x\;, se puede descomponer de la siguiente manera:

5x^3+5x^2-60x=x(5x^2+5x-60)=5x(x-3)(x+4)\;

(Observa que primero hemos sacado factor común x\; y luiego hemos factorizado el polinomio de grado 2, como hicimos en el ejemplo anterior).

Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2

Un polinomio de grado mayor que 2 no pueda factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con los conocimientos que tenemos.

En algunos casos, como en el de los polinomios bicuadrados, que son polinomios de la forma ax^4+bx^2+c\;, si podremos hallarle las raices, resolviendo la ecuación bicuadrada que resulta de igualarlo a cero.

ejercicio

Ejemplos: Factorización de polinomios bicuadrados

Factoriza el siguiente polinomio: P(x)=x^4 - 7x^2 + 6 \;\!

Solución:

Resolvemos la ecuación bicuadrada: x^4 - 7x^2 + 6 = 0\;\!

x^4 - 7x^2 + 6 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-7y+6=0

y = \frac{7 \pm \sqrt{49-24}}{2}=\frac{7 \pm 5}{2} \rightarrow \begin{cases} y=1 \rightarrow x= \pm \sqrt 1 = \pm 1 \\ y=6 \rightarrow x= \pm \sqrt 6 \end{cases}

Soluciones: -1,\, 1,\, -\sqrt 6,\, \sqrt 6\,\!

Entonces, la factorización del polinomio es la siguiente:

P(x)=(x+1)(x-1)(x+\sqrt 6)(x-\sqrt 6)

Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini

ejercicio

Factorización de un polinomio por Ruffini

Para factorizar un polinomio mediante la regla de Ruffini, aplicaremos ésta sucesivamente, utilizando como candidatos a raíces enteras, los divisores del término independiente y como candidatos a raices fraccionarias, las que resultan de dividir los divisores del término independiente entre los divisores del término de mayor grado.

nota
Nota:

Cuando al aplicar la regla de Ruffini nos quede un polinomio de segundo grado en el cociente, en vez de seguir probando por Ruffini, es preferible aplicar la fórmula de la ecuación de segundo grado para obtener las dos últimas raíces y por tanto los dos últimos factores. Esto será así, siempre y cuando, el discriminante de la ecuación no sea negativo, ya que de serlo, no habrá más raíces y no podremos descomponerlo más.

ejercicio

Ejemplo: Regla de Ruffini

Factoriza el siguiente polinomio:

P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2\,\!
Solución:

Primero sacamos factor común 3x^2\,\!:

P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 = 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70)\,\!

Ahora aplicamos Ruffini. Los divisores de 70\,\! son 1,\ -1,\ 2,\ -2,\ 5,\ -5,\ \mbox{etc.}\,\!

Empezaremos probando con el 1: 

   | 1  -1  -39  109  -70
   |                   
  1|     1    0  -39   70
 --|----------------------
   | 1   0  -39   70  |0
                      |____

Como el resto es cero, hemos encontrado una de las raíces, x=1\; y uno de los factores (x-1)\;.

P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!
= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70)=\,\!
= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!

Seguimos aplicando Ruffini. Probamos con 1, de nuevo ya que podría repetirse dicha raíz: 

   | 1   0  -39   70
   |                   
  1|     1    1   38
 --|-----------------
   | 1   1   38 |108
                |____

El resto es diferente de cero con lo que tenemos que seguir probando, con el -1: 

   | 1   0  -39   70
   |                   
 -1|    -1    1   38
 --|-----------------
   | 1  -1  -38 |108
                |____

El resto vuelve a ser diferente de cero, probamos con 2: 

   | 1  0  -39   70
   |                   
  2|    2    4  -70
 --|----------------
   | 1  2  -35   |0
                 |____

Ya hemos encontrado otra raíz, x=2\;, y el factor correspondiente, (x-2)\;.

El polinomio quedará de la siguiente forma:

P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!
= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70)=\,\!
= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!
= 3x^2(x-1)(x-2)(x^2+2x-35)\,\!

Finalmente para encontrar las dos últimas raíces utilizamos la fórmula de la ecuación de 2º grado:

x^2+2x-35=0 \rightarrow x=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 -4 \cdot (-35)}}{2}=\frac{-2 \pm 12}{2}=\begin{cases} x_1=-7 \\ x_2=5 \end{cases}

Así, sus raíces son 5 y -7 y sus factores (x-5) y (x+7).

De esta manera:

P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!
= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70=\,\!
= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!
= 3x^2(x-1)(x-2)(x^2+2x-35)\,\!
= 3x^2(x-1)(x-2)(x-5)(x+7)\,\!
Con lo que queda descompuesto el polinomio.

video
Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini
Tutorial 1 (26'17")     Sinopsis:

Método que nos permite factorizar polinomios de grado mayor que dos.

Tutorial 2 (9´55")     Sinopsis:
  • Factorizar un polinomio P(x) es expresarlo como producto de otros de menor grado que él, y para ello hay que calcular los "ceros" de P(x), cosa no siempre fácil.
  • Si "a" es un "cero" de P(x) y C(x) es el cociente de la división P(x)/(x-a), entonces P(x) = (x-a).C(x).
  • Teorema de la factorización: si los coeficientes de un polinomio P(x) son números enteros, los ceros enteros de P(x) son divisores del término independiente de P(x).
  • Si la suma de los coeficientes de P(x) es 0, pues apostar tranquilamente la vida a que el número 1 es un "cero" de P(x); o sea, P(x) es divisible por (x-1).
Tutorial 3 (9'19")     Sinopsis:

Cómo hacer una descomposición factorial de polinomios por Ruffini.

Ejercicio 1 (11´14")     Sinopsis:

Factoriza los polinomios:

a) P(x)=x^3-2x^2-x+2 \;
b) Q(x)=x^3-3x+2 \;
Ejercicio 2 (9´29")     Sinopsis:

Factoriza el polinomio P(x)=x^4-5x^3+7x^2-5x+6 \;

Ejercicio 3 (9´36")     Sinopsis:

Factoriza el polinomio P(x)=2x^5-10x^3+8x \;

Ejercicio 4 (9´27")     Sinopsis:

Factoriza el polinomio P(x)=12x^3-4x^2-3x+1 \; sabiendo que sólo tiene raíces fraccionarias.

Ejercicio 5 (8'59")     Sinopsis:

Hallar los puntos de intersección de las dos funciones polinómicas siguientes:

f(x)=7x^3+3x^2-4x-2\;
g(x)=6x^3+6x^2+6x-26\;
Ejercicio 6 (9'25")     Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomios mediante la regla de Ruffini:

8a) x^2+4x+4\;
8b) x^2-4x+4\;
Ejercicio 7 (8'14")     Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomios mediante la regla de Ruffini:

8c) x^2-4\;
8d) x^2+6x+9\;
Ejercicio 8 (7'01")     Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomios mediante la regla de Ruffini:

8e) x^2-6x+9\;
8f) x^2-10x+25\;
Ejercicio 9 (8'01")     Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomios mediante la regla de Ruffini:

8g) 15+8x+x^2\;
8h) 2x^2+2x-4\;
Ejercicio 10 (8'01")     Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomios mediante la regla de Ruffini:

8i) 3x^2-6x-9\;
8j) x^2+3x+2\;
Ejercicio 11 (8'33")     Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomios mediante la regla de Ruffini:

8k) 3x^2-3x-18\;
8l) -x^2+3x+10\;

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Factorizaci%C3%B3n_de_polinomios_%281%C2%BABach%29"
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