Resolución de ecuaciones (1ºBach)

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==Ecuación de segundo grado== ==Ecuación de segundo grado==
-{{Caja_Amarilla|texto=Una '''ecuación de segundo grado con una incógnita''', <math>x\;\!</math>, es aquella que tiene la siguiente expresión, que llamaremos '''forma general'''.+{{Ecuación de segundo grado}}
-{{p}}+
-<center><math>ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0</math></center>+
-}}+
-{{p}}+
-===Resolución de la ecuación de segundo grado===+
-{{Teorema|titulo=''Fórmula de la ecuación de segundo grado''+
-|enunciado=Las soluciones de la ecuación de segundo grado son:+
-<center><math>x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math></center>+
-donde el signo <math>(\pm)</math> significa que una solución se obtiene con el signo <math>(+)\;\!</math> y otra con el signo <math>(-)\;\!</math>.+
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-1. Se divide la ecuación por <math>a\;\!</math>:+
-<center><math>x^2+ \cfrac{b}{a}x+ \cfrac{c}{a}=0</math></center>+
- +
-2. Se multiplica y divide por <math>2\;\!</math> el coeficiente de la <math>x\;\!</math>:+
-<center><math>x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}=0</math></center>+
- +
-3. Se suma alos dos miembros de la igualdad <math>\cfrac{b^2}{4a^2}</math>:+
-<center><math>x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}</math></center>+
- +
-4. Se pasa restando a la derecha <math>\cfrac{c}{a}</math>:+
-<center><math>x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}</math></center>+
- +
-5. Observando que el lado izquierdo es el desarrollo de <math>\left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2</math>:+
-<center><math>\left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}</math></center>+
- +
-6. Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros:+
-<center><math>x+\cfrac{b}{2a}=\pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}</math></center>+
- +
-7. Se despeja x:+
-<center><math>x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}</math></center>+
- +
-8. Se simplifica la expresión:+
-<center><math>x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}}=- \cfrac{b}{2a} \pm \cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=- \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math></center>+
- +
-}}{{p}}+
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Resolución de la ecuación de segundo grado''+
-|enunciado=+
-:Ejemplos de ecuaciones de segundo grado resueltas.+
-|sol=+
-Pulsa "Inicio" para ver otros ejemplos:+
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- +
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-===Discriminante de una ecuación de segundo grado===+
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-Llamamos '''discriminante''' de una ecuación de segundo grado a:+
-<center><math>\triangle = b^2-4ac</math></center>+
-por tanto:+
-*Si <math>\triangle <0</math> la ecuación no tiene solución.+
-*Si <math>\triangle >0</math> la ecuación tiene dos soluciones.+
-*Si <math>\triangle =0</math> la ecuación tiene una solución (doble).+
-}}+
-{{p}}+
- +
-===Ecuaciones de segundo grado incompletas===+
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-Una ecuación de segundo grado <math>ax^2+bx+c=0\;\!</math> es incompleta, si ocurre uno de los siguientes casos:+
-*<math>b=0\;\!</math>: <math>(ax^2+c=0\;\!)</math>+
-:En este caso las soluciones se obtienen despejando x:+
-<center><math>ax^2+c=0; \quad ax^2=-c; \quad x=-\cfrac{c}{a};\quad x=\pm \sqrt {-\cfrac{c}{a}}</math></center>+
-*<math>c=0\;\!</math>: <math>(ax^2+bx=0\;\!)</math>+
-:En este caso, sacando factor común e igualando a cero cada factor:+
-<center><math>ax^2+bx =0; \quad x \cdot (ax+b)=0 \quad \left \{ \begin{matrix} x_1=0 \\ x_2=-\cfrac{b}{a} \end{matrix} \right . </math></center> +
-}}+
-{{p}}+
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Ecuaciones de segundo grado incompletas''+
-|enunciado=+
-:Ejemplos de ecuaciones de segundo grado incompletas resueltas.+
-|sol=+
-Pulsa "INICIO" para ver otros ejemplos:+
- +
-*'''Caso 1:''' <math>b=0\;\!</math>: <math>(ax^2+c=0\;\!)</math>+
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/4b_eso/Ecuaciones2grado/eg21_1.html+
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-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/4b_eso/Ecuaciones2grado/eg21_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-*'''Caso 2:''' <math>c=0\;\!</math>: <math>(ax^2+bx=0\;\!)</math>+
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/4b_eso/Ecuaciones2grado/eg21_2.html+
-width=560+
-height=360+
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-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/4b_eso/Ecuaciones2grado/eg21_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-}}+
- +
==Ecuaciones bicuadradas== ==Ecuaciones bicuadradas==

Revisión de 18:46 14 ene 2009

Tabla de contenidos

[esconder]

Ecuación de segundo grado

Ecuación de segundo grado

  • Una ecuación de segundo grado con una incógnita, x\;\!, es aquella que tiene o se puede reducir a la siguiente expresión, que llamaremos forma general.

ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0
  • Si algún coeficiente,"b" o "c", es cero la ecuación diremos que es incompleta. En caso contrario diremos que es completa.

El siguiente videotutorial condensa casi todo lo que se va a tratar en este tema:

Ecuación de segundo grado completa

ejercicio

Fórmula general

Las soluciones de la ecuación de segundo grado

ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0

son:

x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

donde el signo (\pm) significa que una solución se obtiene con el signo (+)\;\! y otra con el signo (-)\;\!.

Número de soluciones de la ecuación de segundo grado

Llamamos discriminante de una ecuación de segundo grado, ax^2+bx+c=0 \;, al número:

\triangle = b^2-4ac

ejercicio

Proposición

Sea \triangle el discriminante de una ecuación de segundo grado:

  • Si \triangle <0, la ecuación no tiene solución.
  • Si \triangle >0, la ecuación tiene dos soluciones.
  • Si \triangle =0, la ecuación tiene una solución (doble).

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Una ecuación de segundo grado, ax^2+bx+c=0\;\!, es incompleta, si b=0\; ó c=0\;:

  • Si b=0:~ ax^2+c=0
  • Si c=0:~ ax^2+bx=0

ejercicio

Resolución de las ecuaciones de segundo grado incompletas

  • En el caso b=0~ (ax^2+c=0 \;), las soluciones se obtienen despejando x\;:
ax^2+c=0 \ \rightarrow \ ax^2=-c \ \rightarrow \ x^2=-\cfrac{c}{a} \ \rightarrow \ x=\pm \sqrt {-\cfrac{c}{a}}
  • En el caso c=0~ (ax^2+bx=0), las soluciones se obtienen sacando factor común e igualando a cero cada factor:
ax^2+bx =0 \ \rightarrow \ x \, (ax+b)=0 \ \rightarrow \ \left \{ \begin{matrix} x_1= ~0~~ \\ x_2=-\cfrac{b}{a} \end{matrix} \right .

Ecuaciones bicuadradas

Las ecuaciones bicuadradas Son ecuaciones de cuarto grado pero tienen una característica que las hace especiales: no tienen terminos de grado impar, es decir son de la forma

ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!

El truco para resolverlas es hacer el cambio de variable x^2=y\,\!. Entonces, la ecuación quedará como una de segundo grado

ay^2 + by + c = 0 \,\!

Una vez resuelta esta ecuación en y\;, tenemos que averiguar el valor de la x\;. Para ello desharemos el cambio de variable, haciendo x=\pm \sqrt{y}. En consecuencia, las soluciones y<0\,\!, las rechazaremos, ya que no darán solución para la x\,\!, quedándonos sólo con las soluciones de y\,\! no negativas, cada una de las cuales dará dos soluciones para la x\,\!.

ejercicio

Ejemplo: Ecuaciones bicuadradas

Resuelve las ecuaciones:

a) x^4 - 7x^2 + 6 = 0\;\!
b) x^4 - 3x^2 - 10 = 0\;\!
c) x^4 - 9x^2 = 0 \;\!

Ecuaciones con la x en el denominador

Las ecuaciones que tienen la incógnita en el denominador, laspuedes resolver de forma análoga a las que tienen números en el denominador, es decir, haciendo el mínimo común múltiplo de los denominadores. A continuación se divide el m.c.m. entre cada denominador y se multiplica el resultado por su respectivo numerador, Esto se hace con los dos miembros de la ecuación.De esta forma desaparecen los denominadores y la ecuación resultante ya es más sencilla de resolver.

En estos procesos de multiplicar los miembros de la ecuación por polinomios, pueden aparecer soluciones falsas. Por tanto, al terminar, siempre debemos comprobar todas las posibles soluciones obtenidas.

ejercicio

Ejemplo: Ecuaciones con x en el denominador

Resuelve las ecuación: \frac{1} {x}- \frac{1} {x+3} = \frac{3} {10}

Ecuaciones con radicales

Las ecuaciones con radicales son aquellas que tienen la x dentro de raices cuadradas. Para solucionarlas hay que aislar las raices una a una e ir elevando al cuadrado para eliminarlas.

Al elevar al cuadrado para buscar la solución, pueden aparecer soluciones erroneas. Por eso, al finalizar, hay que hacer la comprobación en la ecuación inicial para detectar y recharzar las que no sean válidas.

ejercicio

Ejemplo: Ecuaciones con radicales

Resuelve las ecuaciones:

a) \sqrt{3x-5} +1=x\;\!
b) \sqrt{2x-3} + \sqrt{x+7} = 4 \;\!

Ecuaciones factorizadas

Las ecuaciones factorizadas son ecuaciones del tipo:

(...) \cdot (...) \cdot (...) = 0

donde cada factor (...)\; es una expresión algebraica.

Como para que un producto sea cero basta con que uno de los factores sea cero, tenemos que igualar a cero cada factor y resolver la ecuación resultante.

ejercicio

Ejemplo: Ecuación factorizada

Resuelve la ecuación x \cdot (x-5)\cdot (3x+1)=0\;\!

Ecuaciones exponenciales

Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita aparece como exponente.

ejercicio

Ejemplo: Ecuación exponencial

Resuelve las siguientes ecuaciónes:

a) 2^{x^2-1}=\cfrac{1}{8}\;
b) 2^x+2^{x+1}=12\;

Ecuaciones logarítmicas

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita aparece como parte de un logaritmo.

Para su resolución hay que tener en cuenta las propiedades de los logaritmos.

ejercicio

Ejemplos: Ecuaciones logarítmicas

Resuelve las siguientes ecuaciónes:

a) log \ x + log \ 50 = 3
b) 5\, log_2 \ (x+3)= log_2 \ 32
c) 2\, log \ x= log \ (10-3x)
Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Resoluci%C3%B3n_de_ecuaciones_%281%C2%BABach%29"
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