Estudio gráfico (PACS)

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Tabla de contenidos

1 Monotonía
2 Extremos relativos: Máximos y mínimos
- 2.1 Ejercicios
3 Tendencias
4 Periodicidad
5 Simetrías
6 Continuidad

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Monotonía

Una función es creciente en un intervalo I cuando al aumentar la variable independiente $x\;$ en ese intervalo, aumenta la variable dependiente $y\;$ .

$\forall x_1,x_2 \in I, x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$

Una función es decreciente en un intervalo cuando al aumentar la variable independiente $x\;$ en ese intervalo, disminuye la variable dependiente $y\;$ .

$\forall x_1,x_2 \in I, x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$

Una función es constante en un intervalo cuando al aumentar la variable independiente $x\;$ en ese intervalo, la variable dependiente $y\;$ no varía, siempre toma un mismo valor $k\;$ .

$f(x)=k \ , \forall x \in I$

Crecimiento de una función

Tutorial 1 (2'50") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el estudio del crecimiento de una función dada su gráfica.

Tutorial 2 (7'10") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el estudio del crecimiento de una función dada su gráfica.

Tutorial 3 (12´24") Sinopsis:

Conceptos de función creciente, decreciente y constante.

Ejercicio 1 (1'58") Sinopsis:

Estudio del crecimiento de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 2 (2'08") Sinopsis:

Estudio del crecimiento de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 3 (1'24") Sinopsis:

Estudio del crecimiento de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 4 (1'28") Sinopsis:

Estudio del crecimiento de una función a partir de su gráfica.

Crecimiento de una función

Actividad 1 Descripción:

Actividades con las que aprenderás a determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.

Actividad 2 Descripción:

En esta escena podrás ver cuando una función es creciente, decreciente o constante.

Autoevaluación Descripción:

Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.

Se llama variación de una función $f\;$ en un intervalo $[a,b]\;$ , a lo que varía la variable dependiente de un extremo a otro del intervalo:

$\Delta f_{[a,b]}=f(b)-f(a)\;$

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Extremos relativos: Máximos y mínimos

Una función $y = f(x)\;$ tiene un máximo relativo en un punto $(x_o,y_o)\;$ cuando $y_o\;$ es mayor que los valores que toma la variable $y\;$ en un intervalo entorno al punto.

Una función $y = f(x)\;$ tiene un mínimo relativo en un punto $(x_o,y_o)\;$ cuando $y_o\;$ es menor que los valores que toma la variable $y\;$ en un intervalo entorno al punto.

Máximos y mínimos de una función

Tutorial 1 (1'59") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el estudio de máximos y mínimos (relativos y absolutos) de una función dada su gráfica.

Tutorial 2 (8'08") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el estudio de máximos y mínimos (relativos y absolutos) de una función dada su gráfica.

Tutorial 3 (5'51") Sinopsis:

Conceptos de máximo y mínimo relativos.

Ejercicio 1 (2'17") Sinopsis:

Estudio de los puntos extremos de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 2 (1'12") Sinopsis:

Estudio de los puntos extremos de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 3 (1'10") Sinopsis:

Estudio de los puntos extremos de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 4 (3'45") Sinopsis:

Estudio de los puntos extremos de una función a partir de su gráfica.

Máximos y mínimos de una función

Actividad 1 Descripción:

Actividades con las que aprenderás a determinar los máximos y mínimos de una función dada gráficamente.

Actividad 2 Descripción:

En esta escena podrás ver cuando una función alcanza un máximo o un mínimo.

Actividad 3 Descripción:

Interpreta la siguiente gráfica que muestra las temperaturas a lo largo de un día de invierno en un pueblo de Valladolid. Averigua sus máximos y mínimos relativos.

Actividad 4 Descripción:

Construye una gráfica que cumpla ciertas condiciones sobre los puntos por los que pasa. Se exigira, por ejemplo, que tenga máximos o mínimos en ciertos puntos, que tenga ciertos puntos de corte con los ejes, etc.

Actividad 5 Descripción:

Unos alumnos de E.S.O. disponen de una cuerda de 80 metros de longitud con la que quieren construir rectángulos en el patio de su centro.

Haz una tabla de valores donde se relacione la base de los rectángulos y su área.
Representa gráficamente la función.
Halla una expresión que te permita calcular el área de cualquiera de esos rectángulos, conocida su base.
¿Cuál es el dominio de esta función?
¿Para qué valor del lado se consigue un rectángulo de área máxima? ¿Qué tiene de peculiar ese valor?

Autoevaluación 1 Descripción:

Máximos y mínimos relativos o locales.

Autoevaluación 2 Descripción:

Máximos y mínimos absolutos.

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Ejercicios

Interpretación de gráficas

Ejercicio 1 (3'50") Sinopsis:

Interpreta la gráfica dada.

Ejercicio 2 (4'42") Sinopsis:

Interpreta la gráfica dada.

Interpretación de gráficas Descripción:

Problemas verbales de interpretación de gráficas.

Ejercicios resueltos: Crecimiento. Máximos y mínimos

1. En la siguiente función, indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos relativos.

Solución:

Creciente: $[-2, 0] \cup [3, 5]\;\!$
Decreciente: $[-4, -2] \cup [0, 3]\;\!$

Máximo relativo: $(0,5)\;$
Mínimos relativos: $(-2,-3) \ y \ (3,-4)$

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Tendencias

Decimos que una función $y=f(x)\;$ tiende a un valor $y_o\;$ cuando la variable independiente tiende a un valor $x_o\;$ , si los valores de la variable $y\;$ se acercan a $y_o\;$ cuando la variable $x\;$ se acerca a $x_o\;$ .

Simbólicamente:

$\lim_{x \to x_o} f(x)=y_0$

En la anterior expresión la tendencia de la variable independiente puede ser a $+\infty$ o $- \infty$ en vez de $x_o\;$ . Igualmente, la tendencia de la variable dependiente puede ser a $+\infty$ y $- \infty$ en vez de a un valor $y_o\;$ .

Así cuando, por ejemplo, la variable $x\;$ se haga infinitamente grande y los correspondientes valores de la función se acerquen a un valor $y_o\;$ , escribiremos:

$\lim_{x \to +\infty} f(x)=y_0$

Tendencia de una función Descripción:

En esta escena podrás estudiar la tendencia de una función que relaciona la temperatura de un recipiente de agua que se va enfriando y el tiempo que ha transcurrido.

Actividad 1: Tendencias Descripción:

Estudia la tendencia del crecimiento de una población de búhos:

En ocasiones nos interesa saber cómo se comporta la función cuando la variable independiente aumenta mucho o disminuye mucho o cuando se acerca a una valor concreto. A los valores a los que se aproxima es lo que llamamos tendencia de la función. Observa la gráfica de la población de búhos (en miles) en un territorio en función del tiempo. Mueve el punto P para ayudarte a contestar las preguntas:

Observa que la población de búhos se estabiliza en un valor según pasa el tiempo; luego la tendencia de la población es ese valor. Resulta al hacer cada vez más grande el valor de la variable independiente.

a) ¿Cuál es ese valor? (Nota: En el eje Y, 1 cuadrito = 1 millar de búhos)

Lo mismo ocurre cuando se hace cada vez más negativa la variable independiente, aunque esta tendencia no es el mismo valor.

b) ¿Cuál es ese valor?

Actividad 2: Tendencias Descripción:

Estudia la tendencia de la siguiente función:

La tendencia de una función se estudiar también cuando la x se acerca a un número real en vez de a (+/-)infinito. En la escena siguiente recorre la función con el punto P y apunta en tu cuaderno las tendencias de la función.

a) ¿Cuál es el número al que se aproxima cuando la x se hace muy grande, es decir se aproxima a infinito $(+\infty)$ ?

b) ¿Y si x se hace muy grande negativamente, es decir, se aproxima a $- \infty$ ?

c) ¿A qué valor tiende la función cuando nos aproximamos a 2?

Tendencia de una función

Ejercicio 1 (1'11") Sinopsis:

Estudio de las tendencias de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 2 (1'10") Sinopsis:

Estudio de las tendencias de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 3 (1'29") Sinopsis:

Estudio de las tendencias de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 4 (1'18") Sinopsis:

Estudio de las tendencias de una función a partir de su gráfica.

Tendencia de una función

Actividad: Tendencia de una función

a) Averigua la tendencia de la función $f(x)=\cfrac{1}{x}\;$ . cuando $x\;$ se hace infinitamente grande.

b) Observa lo que ocurre en el apartado anterior dibujando la función desde x=0 a x=100000.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) limit x to +oo 1/x

b) plot 1/x {x,0,100000}

Ejercicio Resuelto: Tendencia de una función

1. Compramos un coche por 12.000 €, y cada año que pasa su precio se devalua un 20%.

a) Haz una tabla que exprese el precio del coche durante los próximos años.

b) Representa gráficamente los resultados del apartado a).

c) Encuentra una fórmula que exprese esta función.

d) ¿Cómo es la variable independiente: continua o discreta?

e) ¿Cuál es el dominio de esta función?. ¿Y su imagen?

f) ¿Cual es la tendencia de esta función segun pasan los años?

g) Describe el crecimiento e indica si tiene máximos o mínimos.

Solución:

a) Tabla de valores:

x	0	1	2	3	4	5	6	7
y	12.000	9.600	7.680	6.144	4.915,2	3.932,2	3.145,7	2.516,6

b) Representación gráfica:

c) Continua.

d) $y=12000 \cdot 0,8^x \quad$ (€)

e) $D=\mathbb{R}^+$ ; $Im=[12.000, \ 0)$ .

f) La función tiende a 0 a medida que transcurre el tiempo.

g) Es decreciente en todo su dominio. Tiene un máximo en

x = 0

y no tiene mínimos.

h) No es periódica.

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Periodicidad

Una función es periódica si su gráfica se va repitiendo a intervalos. Al menor valor posible, T, de la longitud de dicho intervalo, se le llama periodo.

Se cumple:

$f(x)=f(x+T),\quad \forall x \in Dom_f$

Periodicidad de una función Descripción:

Actividades con las que aprenderás a determinar si una función es periódica y a hallar su período a partir de su gráfica.

Funciones periódicas

Actividad: Funciones periódicas

En próximos cursos estudiarás las funciones trigonométricas, como las funciones seno o coseno. A continuación podrás ver su aspecto y su período:

a) Período de la función seno.

b) Período de la función coseno.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) period sin(x)

b) period cos(x)

Ejercicio (3'41") Sinopsis:

Estudio de la periodicidad de una función dada por una gráfica.

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Simetrías

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Continuidad

Cuando la gráfica de una función tiene saltos bruscos (no se puede dibujar de un solo trazo) decimos que es discontinua. En caso contrario se dice que es continua. Los puntos donde se producen los saltos se llaman discontinuidades.
Una función diremos que es continua en un intervalo si no presenta ninguna discontinuidad en dicho intervalo, aunque pueda presentar alguna fuera del mismo.

Ejemplos: Continuidad

De las siguientes funciones, indica cuáles son continuas y cuáles no. Enumera las discontinuidades.

Solución:

Solución:

Las funciones a) y c) son continuas.

La b) es discontinua con discontinuidades en $x=-1\;$ y $x=3\;$ .

Continuidad de funciones Descripción:

Actividades en las que aprenderás el concepto de continuidad de una función.

Continuidad de funciones

Tutorial 1 (9´19") Sinopsis:

Concepto de función continua y de función continua en un intervalo. Ejemplos.

Tutorial 2 (5'36") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el estudio de la continuidad de una función dada su gráfica, así como los tipos de discontinuidades que existen.

Nota 1: En este tutorial se definen algunos "tipos de discontinuidades" que nosotros no veremos hasta proximos cursos. No obstante, son bastante intuitivos y se podrán entender sin mayor problema.

Nota 2: A lo largo del tutorial se ve un ejemplo en el que la función no está definida en un intervalo y se dice que la función es discontinua en todo ese intervalo. En cursos superiores, diremos que en esos intervalos donde la función no está definida "no tiene sentido" hablar de continuidad ni de discontinuidad.

Ejercicio 1 (1'33") Sinopsis:

Estudio de la continuidad de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 2 (0'56") Sinopsis:

Estudio de la continuidad de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 3 (0'49") Sinopsis:

Estudio de la continuidad de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 4 (1'04") Sinopsis:

Estudio de la continuidad de una función a partir de su gráfica.

Continuidad de funciones

Actividad: Continuidad de funciones

Observa las gráficas de las siguientes funciones y si tienen o no discontinuidades:

a) $y=x^3+x\;$ no presenta discontinuidades.

b) $y=\frac{1}{x}$ presenta una discontinuidad en x=0.

b) $y=\frac{1}{x}\, , \ x \in [1,10]$ no presenta discontinuidades en ese intervalo.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) plot x^3+x

b) plot 1/x

c) plot 1/x, x from 1 to 10

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Estudio_gr%C3%A1fico_%28PACS%29"

Categorías: Matemáticas | Funciones

 ==Extremos relativos: Máximos y mínimos==
-{{Caja Amarilla
+{{Máximos y mínimos de una función}}
-|texto=
+{{p}}
-Una función <math>y = f(x)</math> tiene un '''máximo''' en un punto <math>(x_o,y_o)</math> cuando <math>y_o</math> es mayor que los valores que toma la variable <math>y</math> en un intervalo entorno al punto.
-Una función <math>y = f(x)</math> tiene un '''mínimo''' en un punto <math>(x_o,y_o)</math> cuando <math>y_o</math> es menor que los valores que toma la variable <math>y</math> en un intervalo entorno al punto.
-}}{{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Crecimiento, máximos y mínimos''
-|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=
-. Interpreta la siguiente gráfica que muestra las temperaturas a lo largo de un día de invierno en un pueblo de Valladolid.
-|actividad=
-La siguiente gráfica muestra las temperaturas a lo largo de un día de invierno en un pueblo de Valladolid. En el eje horizontal hemos representado las horas del día y en el eje vertical, las temperaturas.
-Cuando éstas aumentan decimos que la función es creciente. Cuando disminuyen, diremos que es decreciente.
-En aquellos puntos de la gráfica de una función donde pasa de ser decreciente a ser creciente decimos que alcanza un mínimo. En los puntos que pasa de ser creciente a ser decreciente alcanza un máximo.
-<center><iframe>
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-Haz click con el ratón en los puntos de la gráfica de los que quieras saber sus coordenadas y contesta:
-a) ¿Qué temperatura hizo a las 0 horas? ¿Y a las 10 horas?
-b) ¿A qué hora había 0º?
-c) ¿A qué hora se alcanzó la temperatura máxima del día?¿Cuál fue la temperatura máxima?
-d) ¿A qué hora se alcanzo la temperatura mínima del día? ¿Cuál fue la temperatura mínima?
-e) ¿En que periodo del día subió la temperatura? ¿En qué periodo bajó? ¿En qué periodos se mantuvo constante?
-f) ¿En qué período del día hubo una temperatura por debajo de 0º?
-g) Construye una tabla con las temperaturas que se registraron a lo largo del día.
-<table border="1" width="100%">
-    <tr>
-        <td width="8%"><strong>Hora</strong></td>
-        <td align="center" width="6%"><strong>0</strong></td>
-        <td align="center" width="6%"><strong>2</strong></td>
-        <td align="center" width="6%"><strong>4</strong></td>
-        <td align="center" width="6%"><strong>6</strong></td>
-        <td align="center" width="6%"><strong>8</strong></td>
-        <td align="center" width="6%"><strong>10</strong></td>
-        <td align="center" width="6%"><strong>12</strong></td>
-        <td align="center" width="6%"><strong>14</strong></td>
-        <td align="center" width="6%"><strong>16</strong></td>
-        <td align="center" width="7%"><strong>18</strong></td>
-        <td align="center" width="7%"><strong>20</strong></td>
-        <td align="center" width="7%"><strong>22</strong></td>
-        <td align="center" width="7%"><strong>24</strong></td>
-    </tr>
-    <tr>
-        <td width="8%"><strong>Temperatura</strong></td>
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-        <td width="6%">&nbsp;</td>
-        <td width="6%">&nbsp;</td>
-        <td width="6%">&nbsp;</td>
-        <td width="6%">&nbsp;</td>
-        <td width="6%">&nbsp;</td>
-        <td width="6%">&nbsp;</td>
-        <td width="6%">&nbsp;</td>
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-        <td width="7%">&nbsp;</td>
-    </tr>
-</table>
-}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=2. Construye una grafica que cumpla ciertas condiciones de crecimiento, de máximos y mínimos.
-|actividad=
-En la siguiente escena se representa la gráfica de una función creciente en el intervalo [0,8], decreciente en el intervalo [8,16] y creciente de nuevo en el intervalo [16,24]. La función alcanza un máximo en el punto B y un mínimo en el punto C.
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-</iframe></center>
-Arrastra los puntos A, B, C y D para representar gráficas con las siguientes características. En cada caso, escribe en tu cuaderno en qué intervalos la función es creciente y en cuáles es decreciente:
-a) Pasa por los puntos (0,3) y (24,0), alcanza un máximo en el punto (8,6), un mínimo en el punto (16,-5).
-b) Pasa por el punto (0,5) y se mantiene constante en todo el intervalo [0, 8], alcanza un mínimo en (16, -1) y un máximo en (24,8).
-}}
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-|enunciado=3. Autoevaluación.
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-}}
-}}
 ===Ejercicios===
-{{ejercicio
+{{Ejercicios de crecimiento y puntos extremos}}
-|titulo=Ejercicios: ''Crecimiento. Máximos y mínimos''
-|cuerpo=
-{{ejercicio_cuerpo
-|enunciado=
-'''1. '''En la siguiente función, indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos.
-<center>[[Imagen:funcion1d.png]]</center>
-|sol=
-En <math>[-4, -2]\;\!</math> la función es decreciente, en <math>[-2, 0]\;\!</math> es creciente, en <math>[0, 3]\;\!</math> es decreciente  y en <math>[3, 5]\;\!</math> creciente.<br>
-Tiene un máximo en (0,5) y mínimos en (-2,-3) y (3,-4).
-}}
-}}
 {{p}}
 ==Tendencias==
 {{Tendencias de una función}}
 {{p}}
 ==Continuidad==
-{{caja Amarilla
+{{Continuidad de funciones}}
-|texto=
-Cuando la gráfica de una función tiene saltos bruscos (no se puede dibujar de un solo trazo) decimos que es '''discontinua'''. En caso contrario se dice que es '''continua'''. Los puntos donde se producen los saltos se llaman '''discontinuidades'''.
-}}
-{{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Continuidad''
-|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=1. Autoevaluación.
-|actividad=
-<center><iframe>
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-</iframe></center>
-}}
-}}
-==Ejercicios==
-{{ejercicio
-|titulo=Ejercicios: ''Continuidad''
-|cuerpo=
-{{ejercicio_cuerpo
-|enunciado=
-'''1. '''De las siguientes funciones, indica cuáles son continuas y cuáles no. Enumera las discontinuidades.<br>
-a)[[Imagen:funcion1d.png]]{{b}}b)[[Imagen:funcion1e.png]] c)[[Imagen:funcion1f.png]]
-{{p}}
-|sol=
-Las funciones a) y c) son continuas. La b) es discontinua con discontinuidades en <math>x=-1</math> y <math>x=3</math>.
-}}
-}}
-[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Funciones]]
 [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Funciones]]

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