Estudio gráfico (PACS)

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|ampliar= |ampliar=
-|repasar=[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Coordenadas_cartesianas/index.htm Coordenadas]<br>[http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1067 Funciones (SM)]<br>[http://maralboran.org/web_ma/presentaciones/funciones2.ppt Funciones (ppt)]+|repasar=[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Coordenadas_cartesianas/index.htm Coordenadas]<br>[http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1067 Funciones (SM)]<br>[http://maralboran.org/web_ma/presentaciones/funciones2.ppt Funciones (ppt)]<br>[http://www.maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/fichasfunciones/MATERIAL.htm Descartes: Test de ejercicios]
- +
|enlaces= |enlaces=
}} }}
Línea 9: Línea 8:
==Monotonía== ==Monotonía==
-{{Caja_Amarilla+{{Crecimiento y variación de una función}}
-|texto= +
-*Una función es '''creciente''' en un tramo cuando al aumentar la variable independiente <math>x</math> en ese tramo, aumenta la variable dependiente <math>y</math>.+
-*Una función es '''decreciente''' en un tramo cuando al aumentar la variable independiente <math>x</math> en ese tramo, disminuye la variable dependiente <math>y</math>.+
-}}{{p}}+
-{{Caja_Amarilla+
-|texto= +
-Se llama '''variación''' de una función a lo que varía la variable dependiente al variar la variable independiente}}+
{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Crecimiento y variación'' 
-|cuerpo= 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado=1. Ejemplo de función creciente, decreciente y constante. 
-|actividad= 
-Observa las escenas y mueve el punto P. Vemos que en una la gráfica sube (crecimiento), en otra baja (decrecimiento) y en la última ni sube ni baja, es decir, permanece constante. 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/4a_eso/El_lenguaje_de_las_funciones/variacion1_1.html 
-width=100% 
-height=adjust 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
-}} 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado=2. Estudia el crecimiento y la variación de la siguiente función. 
-|actividad= 
-Observa la escena y mueve el punto P para contestar a las siguientes preguntas: 
-<center><iframe>+==Extremos relativos: Máximos y mínimos==
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/4a_eso/El_lenguaje_de_las_funciones/variacion2_1.html+{{Máximos y mínimos de una función}}
-width=500+
-height=adjust+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-a) Indica en qué intervalos la función crece o decrece.<br>+
-b) Indica la variación de la función entre los valores x=-4 y x=0.+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
- 
-==Extremos relativos: Máximos y mínimos== 
-{{Caja Amarilla 
-|texto= 
-Una función <math>y = f(x)</math> tiene un '''máximo''' en un punto <math>(x_o,y_o)</math> cuando <math>y_o</math> es mayor que los valores que toma la variable <math>y</math> en un intervalo entorno al punto. 
-Una función <math>y = f(x)</math> tiene un '''mínimo''' en un punto <math>(x_o,y_o)</math> cuando <math>y_o</math> es menor que los valores que toma la variable <math>y</math> en un intervalo entorno al punto. 
-}}{{p}} 
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Crecimiento, máximos y mínimos'' 
-|cuerpo= 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado= 
-1. Interpreta la siguiente gráfica que muestra las temperaturas a lo largo de un día de invierno en un pueblo de Valladolid. 
-|actividad= 
-La siguiente gráfica muestra las temperaturas a lo largo de un día de invierno en un pueblo de Valladolid. En el eje horizontal hemos representado las horas del día y en el eje vertical, las temperaturas.  
- 
-Cuando éstas aumentan decimos que la función es creciente. Cuando disminuyen, diremos que es decreciente.  
- 
-En aquellos puntos de la gráfica de una función donde pasa de ser decreciente a ser creciente decimos que alcanza un mínimo. En los puntos que pasa de ser creciente a ser decreciente alcanza un máximo.  
-  
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/Interpretacion_de_graficas/Graficas_4.html 
-width=560 
-height=400 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
- 
-Haz click con el ratón en los puntos de la gráfica de los que quieras saber sus coordenadas y contesta: 
- 
-a) ¿Qué temperatura hizo a las 0 horas? ¿Y a las 10 horas?  
-  
-b) ¿A qué hora había 0º?  
-  
-c) ¿A qué hora se alcanzó la temperatura máxima del día?¿Cuál fue la temperatura máxima?  
-  
-d) ¿A qué hora se alcanzo la temperatura mínima del día? ¿Cuál fue la temperatura mínima?  
-  
-e) ¿En que periodo del día subió la temperatura? ¿En qué periodo bajó? ¿En qué periodos se mantuvo constante?  
-  
-f) ¿En qué período del día hubo una temperatura por debajo de 0º?  
-  
-g) Construye una tabla con las temperaturas que se registraron a lo largo del día.  
- 
-<table border="1" width="100%"> 
- <tr> 
- <td width="8%"><strong>Hora</strong></td> 
- <td align="center" width="6%"><strong>0</strong></td> 
- <td align="center" width="6%"><strong>2</strong></td> 
- <td align="center" width="6%"><strong>4</strong></td> 
- <td align="center" width="6%"><strong>6</strong></td> 
- <td align="center" width="6%"><strong>8</strong></td> 
- <td align="center" width="6%"><strong>10</strong></td> 
- <td align="center" width="6%"><strong>12</strong></td> 
- <td align="center" width="6%"><strong>14</strong></td> 
- <td align="center" width="6%"><strong>16</strong></td> 
- <td align="center" width="7%"><strong>18</strong></td> 
- <td align="center" width="7%"><strong>20</strong></td> 
- <td align="center" width="7%"><strong>22</strong></td> 
- <td align="center" width="7%"><strong>24</strong></td> 
- </tr> 
- <tr> 
- <td width="8%"><strong>Temperatura</strong></td> 
- <td width="6%">&nbsp;</td> 
- <td width="6%">&nbsp;</td> 
- <td width="6%">&nbsp;</td> 
- <td width="6%">&nbsp;</td> 
- <td width="6%">&nbsp;</td> 
- <td width="6%">&nbsp;</td> 
- <td width="6%">&nbsp;</td> 
- <td width="6%">&nbsp;</td> 
- <td width="6%">&nbsp;</td> 
- <td width="7%">&nbsp;</td> 
- <td width="7%">&nbsp;</td> 
- <td width="7%">&nbsp;</td> 
- <td width="7%">&nbsp;</td> 
- </tr> 
-</table> 
-}} 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado=2. Construye una grafica que cumpla ciertas condiciones de crecimiento, de máximos y mínimos. 
-|actividad= 
-En la siguiente escena se representa la gráfica de una función creciente en el intervalo [0,8], decreciente en el intervalo [8,16] y creciente de nuevo en el intervalo [16,24]. La función alcanza un máximo en el punto B y un mínimo en el punto C.  
- 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/Interpretacion_de_graficas/Graficas_5.html 
-width=560 
-height=400 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
- 
-Arrastra los puntos A, B, C y D para representar gráficas con las siguientes características. En cada caso, escribe en tu cuaderno en qué intervalos la función es creciente y en cuáles es decreciente:  
-  
-a) Pasa por los puntos (0,3) y (24,0), alcanza un máximo en el punto (8,6), un mínimo en el punto (16,-5).  
-  
-b) Pasa por el punto (0,5) y se mantiene constante en todo el intervalo [0, 8], alcanza un mínimo en (16, -1) y un máximo en (24,8).  
-}} 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado=3. Autoevaluación. 
-|actividad= 
-<center><iframe> 
-url=http://contenidos.santillanaenred.com/jukebox/servlet/GetPlayerP3V?p3v=true&xref=200412031131_AC_0_1931782083&mode=1&rtc=1001&locale=es&cache=false',750,540,'snrPop',0 
-width=100% 
-height=700 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
-}} 
-}} 
===Ejercicios=== ===Ejercicios===
-{{ejercicio+{{Ejercicios de crecimiento y puntos extremos}}
-|titulo=Ejercicios: ''Crecimiento. Máximos y mínimos''+{{p}}
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
-'''1. '''En la siguiente función, indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos.+
-<center>[[Imagen:funcion1d.png]]</center>+
-|sol=+
-En <math>[-4, -2]\;\!</math> la función es decreciente, en <math>[-2, 0]\;\!</math> es creciente, en <math>[0, 3]\;\!</math> es decreciente y en <math>[3, 5]\;\!</math> creciente.<br>+
-Tiene un máximo en (0,5) y mínimos en (-2,-3) y (3,-4).+
-}}+
-}}+
-==Periodicidad==+
-{{Tabla75+
-|celda1=+
-{{Caja Amarilla+
-|texto=+
-Una función es '''periódica''' si su gráfica se va repitiendo cada cierto valor de la variable independiente <math>x</math>. A dicho valor se le llama '''periodo'''. +
-Se cumple:{{p}}+
-<center><math>f(x)=f(x+p),\quad \forall x \in D_f \quad (p=periodo)</math></center>+
-}}+
-|celda2=<center>[[Imagen:periodica.gif |350px|Función de periodo p]]</center>+
-}}{{p}}+
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Periodicidad''+
-|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=1. Autoevaluación.+
-|actividad=+
-<center><iframe>+
-url=http://contenidos.santillanaenred.com/jukebox/servlet/GetPlayerP3V?p3v=true&xref=200412031130_AC_0_1491598710&mode=1&rtc=1001&locale=es&cache=false',750,540,'snrPop',0+
-width=100%+
-height=700+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-}}+
-}}+
-==Ejercicios==+
-{{ejercicio+
-|titulo=Ejercicio: ''Tendencia de una función''+
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo+==Tendencias==
-|enunciado=+{{Tendencias de una función}}
-'''1. '''Compramos un coche por 12.000 €, y cada año que pasa su precio se devalua un 20%.+
-:a) Haz una tabla que exprese el precio del coche durante los próximos años.+
-:b) Representa gráficamente los resultados del apartado a).+
-:c) Encuentra una fórmula que exprese esta función.+
-:d) ¿Cómo es la variable independiente: continua o discreta?+
-:e) ¿Cuál es el dominio de esta función?. ¿Y su imagen?+
-:f) ¿Cual es la tendencia de esta función segun pasan los años?+
-:g) Describe el crecimiento e indica si tiene máximos o mínimos.+
-:h) ¿Es periódica?+
{{p}} {{p}}
-|sol=+==Periodicidad==
 +{{Periodicidad de una función}}
{{p}} {{p}}
-:a) Tabla de valores:{{p}}+==Simetrías==
-<center>+
-<table border=1>+
- <tr>+
- <td>{{b}}x{{b}}</td>+
- <td>0</td>+
- <td>1</td>+
- <td>2</td>+
- <td>3</td>+
- <td>4</td>+
- <td>5</td>+
- <td>6</td>+
- <td>7</td>+
- </tr> +
- <tr>+
- <td>{{b}}y{{b}}</td> +
- <td>12.000</td>+
- <td>9.600</td>+
- <td>7.680</td>+
- <td>6.144</td>+
- <td>4.915,2</td>+
- <td>3.932,2</td>+
- <td>3.145,7</td>+
- <td>2.516,6</td> +
- </tr>+
-</table>+
-</center>+
{{p}} {{p}}
-:b) Representación gráfica: 
-{{p}} 
-[[Imagen:devalua.png|center|250px]]<br> 
-:c) Continua. 
-:d) <math>y=12000 \cdot 0,8^x \quad</math> (€) 
-:e) <math>D=\mathbb{R}^+</math>; <math>Im=[12.000, \ 0)</math>. 
-:f) La función tiende a 0 a medida que transcurre el tiempo. 
-:g) Es decreciente en todo su dominio. Tiene un máximo en <math>x=0</math> y no tiene mínimos. 
-:h) No es periódica. 
-}} 
-}} 
- 
-==Simetrías== 
- 
==Continuidad== ==Continuidad==
-{{caja Amarilla+{{Continuidad de funciones}}
-|texto=+
-Cuando la gráfica de una función tiene saltos bruscos (no se puede dibujar de un solo trazo) decimos que es '''discontinua'''. En caso contrario se dice que es '''continua'''. Los puntos donde se producen los saltos se llaman '''discontinuidades'''.+
-}}+
-{{p}}+
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Continuidad''+
-|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=1. Autoevaluación.+
-|actividad=+
-<center><iframe>+
-url=http://contenidos.santillanaenred.com/jukebox/servlet/GetPlayerP3V?p3v=true&xref=200412031129_AC_0_-856020769&mode=1&rtc=1001&locale=es&cache=false',750,540,'snrPop',0)+
-width=100%+
-height=700+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-}}+
-}}+
-==Ejercicios==+
-{{ejercicio+
-|titulo=Ejercicios: ''Continuidad''+
-|cuerpo=+
- +
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
- +
-'''1. '''De las siguientes funciones, indica cuáles son continuas y cuáles no. Enumera las discontinuidades.<br>+
-a)[[Imagen:funcion1d.png]]{{b}}b)[[Imagen:funcion1e.png]] c)[[Imagen:funcion1f.png]]+
-{{p}}+
-|sol=+
-Las funciones a) y c) son continuas. La b) es discontinua con discontinuidades en <math>x=-1</math> y <math>x=3</math>.+
-}}+
-}}+
-[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Funciones]]+
- +
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Funciones]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Funciones]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

Monotonía

  • Una función es creciente en un intervalo I cuando al aumentar la variable independiente x\; en ese intervalo, aumenta la variable dependiente y\;.
\forall x_1,x_2 \in I, x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)
  • Una función es decreciente en un intervalo cuando al aumentar la variable independiente x\; en ese intervalo, disminuye la variable dependiente y\;.
\forall x_1,x_2 \in I, x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)
  • Una función es constante en un intervalo cuando al aumentar la variable independiente x\; en ese intervalo, la variable dependiente y\; no varía, siempre toma un mismo valor k\;.
f(x)=k \ , \forall x \in I

Se llama variación de una función f\; en un intervalo [a,b]\;, a lo que varía la variable dependiente de un extremo a otro del intervalo:

\Delta f_{[a,b]}=f(b)-f(a)\;

Extremos relativos: Máximos y mínimos

  • Una función y = f(x)\; tiene un máximo relativo en un punto (x_o,y_o)\; cuando y_o\; es mayor que los valores que toma la variable y\; en un intervalo entorno al punto.
  • Una función y = f(x)\; tiene un mínimo relativo en un punto (x_o,y_o)\; cuando y_o\; es menor que los valores que toma la variable y\; en un intervalo entorno al punto.

Ejercicios

ejercicio

Ejercicios resueltos: Crecimiento. Máximos y mínimos


1. En la siguiente función, indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos relativos.

Imagen:funcion1d.png

Tendencias

Decimos que una función y=f(x)\; tiende a un valor y_o\; cuando la variable independiente tiende a un valor x_o\;, si los valores de la variable y\; se acercan a y_o\; cuando la variable x\; se acerca a x_o\;.

Simbólicamente:

\lim_{x \to x_o} f(x)=y_0

En la anterior expresión la tendencia de la variable independiente puede ser a +\infty o - \infty en vez de x_o\;. Igualmente, la tendencia de la variable dependiente puede ser a +\infty y - \infty en vez de a un valor y_o\;.

Así cuando, por ejemplo, la variable x\; se haga infinitamente grande y los correspondientes valores de la función se acerquen a un valor y_o\;, escribiremos:

\lim_{x \to +\infty} f(x)=y_0

ejercicio

Ejercicio Resuelto: Tendencia de una función


1. Compramos un coche por 12.000 €, y cada año que pasa su precio se devalua un 20%.

a) Haz una tabla que exprese el precio del coche durante los próximos años.
b) Representa gráficamente los resultados del apartado a).
c) Encuentra una fórmula que exprese esta función.
d) ¿Cómo es la variable independiente: continua o discreta?
e) ¿Cuál es el dominio de esta función?. ¿Y su imagen?
f) ¿Cual es la tendencia de esta función segun pasan los años?
g) Describe el crecimiento e indica si tiene máximos o mínimos.

Periodicidad

Una función es periódica si su gráfica se va repitiendo a intervalos. Al menor valor posible, T, de la longitud de dicho intervalo, se le llama periodo.

Se cumple:

f(x)=f(x+T),\quad \forall x \in Dom_f
Función de periodo p

Simetrías

Continuidad

  • Cuando la gráfica de una función tiene saltos bruscos (no se puede dibujar de un solo trazo) decimos que es discontinua. En caso contrario se dice que es continua. Los puntos donde se producen los saltos se llaman discontinuidades.
  • Una función diremos que es continua en un intervalo si no presenta ninguna discontinuidad en dicho intervalo, aunque pueda presentar alguna fuera del mismo.

ejercicio

Ejemplos: Continuidad


De las siguientes funciones, indica cuáles son continuas y cuáles no. Enumera las discontinuidades.

a)Imagen:funcion1d.png b)Imagen:funcion1e.png c)Imagen:funcion1f.png

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda