Funciones definidas a trozos (1ºBach)

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Definición

Una función definida a trozos es aquella que utiliza varias funciones para su definición, cada una de ellas definida en un determinado subconjunto del dominio de definición de la función principal.

Ejemplos:

Son funciones definidas a trozos:

$y = \begin{cases} x-1 & \mbox{si }x \le 3 \\ x^2 & \mbox{si }x>3 \end{cases} \qquad \qquad y = \begin{cases} x+4 & \mbox{si }x \le 3 \\ 2x^2-3 & \mbox{si }3<x<5 \\ 1 & \mbox{si }x \ge 5 \end{cases} \qquad \qquad y = \begin{cases} ~~1 & \mbox{si }x \in \mathbb{Q} \\ -1 & \mbox{si }x\in \mathbb{I} \end{cases}$

Graficador de funciones definidas a trozos Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Ejemplos: Función definida a trozos

Representa la siguiente función:

$y = \begin{cases} x^2 & \mbox{si }x \le 1 \\ 2x+1 & \mbox{si }x>1 \end{cases}$

Solución:

Para su representación, tenemos que dibujar cada una de las funciones en sus respectivos tramos, prestando especial atención a los puntos de "empalme" (extremos de los intervalos de definición).

Ejemplos: Función definida a trozos

Encuentra la expresión analítica de la función cuya gráfica es la siguiente:

Solución:

Tendremos que hallar las ecuaciones de tres rectas. Para ello localizaremos dos puntos por los que pase cada recta y a partir de ellos obtendremos su pendiente y luego su ecuación por medio de la ecuación punto-pendiente.

$y = \begin{cases} x-3 & \mbox{si }x \le 0 \\ ~~2 & \mbox{si }0<x<3 \\ -x & \mbox{si }x \ge 3 \end{cases}$

Funciones definidas a trozos

Tutorial 1a (21'12") Sinopsis:

Tutorial en el que se trabaja con las funciones definidas por partes en fórmulas, cálculo de imágenes y preimágenes de valores.

Tutorial 1b (17'02") Sinopsis:

Tutorial en el que se representa gráficamente funciones definidas por partes en fórmulas.

Ejercicio 1 (5'39") Sinopsis:

Halla el valor de f(-10) en la siguiente función a trozos:

$f(x) = \begin{cases} t^2-5t & \mbox{si } t \le -10 \\ t+19 & \mbox{si } -10<t<-2 \\ \cfrac{t^3}{t+9} & \mbox{si } x \ge -2 \end{cases}$

Ejercicio 2 (7'32") Sinopsis:

Obtén la expresión analítica de la función a trozos a partir de su gráfica dada en el video.

Ejercicio 3 (13'38") Sinopsis:

Obtén la gráfica, el dominio y el rango de la siguiente función a trozos:

$f(x) = \begin{cases} x^2+2x & \mbox{si }x \le 1 \\ ~~x & \mbox{si } -1 < x \le 1 \\ -1 & \mbox{si } x>1 \end{cases}$

Ejercicio 4 (4'51") Sinopsis:

La función signo viene dada por la siguiente expresión:

$sgn(x) = \begin{cases} -1 & \mbox{si } x < 0 \\ 0 & \mbox{si } x=0 \\ 1 & \mbox{si } x>0 \end{cases}$

Teniendo en cuenta esto representa: $y=sgn(4x-2)\;$ .

Ejercicio 5 (6'26") Sinopsis:

Representa gráficamente la función a trozos:

$f(x) = \begin{cases} -0.125x+4.75 & \mbox{si } -10 \le x < -2 \\ \qquad x+7 & \mbox{si } ~-2 \le x < -1 \\ \quad \cfrac{12}{11}x+\cfrac{54}{11} & \mbox{si } ~-1 \le x \le 10 \end{cases}$