Composición de funciones (1ºBach)

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-== Ejemplo ==+{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Composición de funciones''
-Sean las funciones:+|enunciado=Dadas las funciones
-: <math> f(x) = x^2 \,</math>+
-: <math> g(x) = sin(x) \,</math>+
-La '''función compuesta''' de ''g'' y de ''f'' que expresamos:+::: <math> f(x) = x^2 \,</math>
-: <math> (f \circ g)(x) = f(g(x)) = (sin(x))^2 = sin^2 (x) \,</math>+::: <math> g(x) = sen(x) \,</math>
-La interpretación de (''f'' o ''g'') aplicada a la variable ''x'' significa que primero tenemos que aplicar ''g'' a ''x'', con lo que obtendríamos un valor de paso +:: a) Halla la función compuesta de <math>g\;</math> y <math>f\;</math>.
-: <math> z = g(x)=sin(x) \, </math>+:: b) Halla la función compuesta de <math>f\;</math> y <math>g\;</math>.
 + 
 +|sol=
 +a) La función compuesta de <math>g\;</math> y <math>f\;</math> es:
 + 
 +: <math> (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(sen(x)) = (sen(x))^2=sen^2 (x) \,</math>
 +{{b}}
 +----
 + 
 +b) La función compuesta de <math>f\;</math> y <math>g\;</math> es:
 + 
 +: <math> (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = sen(x^2) \,</math>
 + 
 +Obsérvese que las funciones obtenidas en ambos apartados son distintas. El orden en que se efectúe la composición afecta al resultado.
 +}}
-y después aplicamos ''f'' a ''z'' para obtener 
-: <math> y = f(z) = z^2 = sin^2(x) \, </math> 
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Funciones]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Funciones]]

Revisión de 18:59 23 ene 2009

Función compuesta

La función compuesta es una función formada por la aplicación sucesiva de otras dos funciones. Formalmente:

Dadas dos funciones f: X \rightarrow Y y g: Y \rightarrow Z, donde la imagen de f\; está contenida en el dominio de definición de g\;, se define la función compuesta como:

\begin{matrix} g \circ f : X & \rightarrow & Z  \qquad \\ \qquad \quad x & \rightarrow &  g(f(x)) \end{matrix}

Se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

\begin{matrix} X & \to & \,\,Y\;\; & \to & Z \\ x & \to & f(x) & \to & g(f(x)) \end{matrix}

A g \circ f se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra, no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.

, es el resultado de la aplicación sucesiva de  y de . En el ejemplo, @.
Aumentar
g \circ f, es el resultado de la aplicación sucesiva de f\; y de g\;. En el ejemplo, (g \circ f)(a)=@.
ejercicio

Ejemplo: Composición de funciones


Dadas las funciones

f(x) = x^2 \,
g(x) = sen(x) \,
a) Halla la función compuesta de g\; y f\;.
b) Halla la función compuesta de f\; y g\;.
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