Factorización de polinomios (4ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

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1 Teorema del resto
2 Raíces de un polinomio
3 Raíces enteras de un polinomio
4 Factorización de polinomios

Teorema del resto

Teorema del Resto

El valor que toma un polinomio, $P(x)\;$ , cuando hacemos $x=a\;$ , coincide con el resto de la división de $P(x)\;$ entre $(x-a)\;$ . Es decir, $P(a)\,= r\,$ , donde $r\,$ es el resto de dicha división.

Demostración:[Mostrar]

Ejemplo: Teorema del Resto

Calcula el resto de dividir el polinomio $x^3 - 3x^2 - 7\;$ entre $(x-2)\;$

Solución:[Mostrar]

Primer método:

Bastará calcular $P(2)=2^3-3 \cdot 2^2-7=-11$

Así el resto será $r=P(2)=-11\;$

Segundo método:

Usando la regla de Ruffini:

   | 1  -3   0   -7
   |                   
  2|     2  -2   -4
 --|----------------
   | 1  -1  -2  |-11
                |____

Así, el resto de la división es -11, y por el teorema del resto, P(2) = -11.

Teorema del resto [Mostrar]

Autoevaluación: Teorema del resto Descripción: [Mostrar]

Raíces de un polinomio

Un número $a\,$ es una raíz de un polinomio $P(x)\,$ si $P(a)\, = 0\,$ . Dicho de otra forma, las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación $P(x)\,= 0\,$ .

Corolario al Teorema del Resto

Si $x=a\;$ es una raíz de un polinomio $P(x)\;$ , entonces $(x-a)\;$ es un factor de dicho polinomio.

Demostración:[Mostrar]

Raíces enteras de un polinomio

Tenemos un polinomio $P(x)\,\!$ con raíces entera y queremos encontrarlas. Para hacerlo tenemos que ir probando a dividirlo por $(x-a)\,\!$ , pero ¿qué valor puede tomar $a\,\!$ ? El siguiente resultado nos da la respuesta:

Teorema

Las raíces enteras de un polinomio son divisores de su término independiente.

Demostración:[Mostrar]

Factorización de polinomios

Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.

Factorización de polinomios de grado 2

Factorización de polinomios de segundo grado

Un polinomio de segundo grado, $kx^2+mx+n\;$ , con raíces rales, $a\;$ y $b\;$ , se puede factorizar de la forma

$k(x-a)(x-b)\;$

Ejemplos: Factorización de polinomios de segundo grado y reducibles

Factoriza los siguientes polinomios

a) $5x^2+5x-60\;$

b) $5x^3+5x^2-60x\;$

Solución:[Mostrar]

Factorización de polinomios de grado 2 [Mostrar]

Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2

Siempre que se pueda, sacaremos $x\;$ factor común.
Mediante la regla de Ruffini buscaremos las raíces enteras del polinomio, que se hallan entre los divisores del término independiente. Así, si encontramos una raíz $x=a\;$ de un polinomio $P(x)\;$ , tendremos que $P(x)=(x-a)Q(x)\;$ , donde $Q(x)\;$ tiene un grado menos que $P(x)\;$ .

Un polinomio de grado mayor que 2 no pueda factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con los conocimientos que tenemos.

Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini

Factorización de un polinomio por Ruffini

Para factorizar un polinomio mediante la regla de Ruffini, aplicaremos ésta sucesivamente, utilizando como candidatos a raíces enteras, los divisores del término independiente y como candidatos a raices fraccionarias, las que resultan de dividir los divisores del término independiente entre los divisores del término de mayor grado.

Nota: [Mostrar]

Ejemplo: Regla de Ruffini

Factoriza el siguiente polinomio:

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2\,\!$

Solución:[Mostrar]

Primero sacamos factor común $3x^2\,\!$ :

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 = 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70)\,\!$

Ahora aplicamos Ruffini. Los divisores de $70\,\!$ son $1,\ -1,\ 2,\ -2,\ 5,\ -5,\ \mbox{etc.}\,\!$

Empezaremos probando con el 1:

   | 1  -1  -39  109  -70
   |                   
  1|     1    0  -39   70
 --|----------------------
   | 1   0  -39   70  |0
                      |____

Como el resto es cero, hemos encontrado una de las raíces, $x=1\;$ y uno de los factores $(x-1)\;$ .

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!$

$= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70)=\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!$

Seguimos aplicando Ruffini. Probamos con 1, de nuevo ya que podría repetirse dicha raíz:

   | 1   0  -39   70
   |                   
  1|     1    1   38
 --|-----------------
   | 1   1   38 |108
                |____

El resto es diferente de cero con lo que tenemos que seguir probando, con el -1:

   | 1   0  -39   70
   |                   
 -1|    -1    1   38
 --|-----------------
   | 1  -1  -38 |108
                |____

El resto vuelve a ser diferente de cero, probamos con 2:

   | 1  0  -39   70
   |                   
  2|    2    4  -70
 --|----------------
   | 1  2  -35   |0
                 |____

Ya hemos encontrado otra raíz, $x=2\;$ , y el factor correspondiente, $(x-2)\;$ .

El polinomio quedará de la siguiente forma:

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!$

$= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70)=\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x-2)(x^2+2x-35)\,\!$

Finalmente para encontrar las dos últimas raíces utilizamos la fórmula de la ecuación de 2º grado:

$x^2+2x-35=0 \rightarrow x=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 -4 \cdot (-35)}}{2}=\frac{-2 \pm 12}{2}=\begin{cases} x_1=-7 \\ x_2=5 \end{cases}$

Así, sus raíces son 5 y -7 y sus factores (x-5) y (x+7).

De esta manera:

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!$

$= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70=\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x-2)(x^2+2x-35)\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x-2)(x-5)(x+7)\,\!$

Con lo que queda descompuesto el polinomio.

Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini [Mostrar]

Tutorial 1 (26'17") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2 (9´55") Sinopsis: [Mostrar]

Tutorial 3 (9'19") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 1 (11´14") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 2 (9´29") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 3 (9´36") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 4 (9´27") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 5 (8'59") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 6 (9'25") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 7 (8'14") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 8 (7'01") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 9 (8'01") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 10 (8'01") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 11 (8'33") Sinopsis: [Mostrar]

Actividades Interactivas: Factorización de polinomios

Actividad 1: La regla de Ruffini y el teorea del resto. Factorización de polinomios.

Actividad:[Mostrar]

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Categorías: Matemáticas | Álgebra

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Raíces de un polinomio

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