Resolución de triángulos cualesquiera (1ºBach)
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| Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece que <math>c^2 = h^2 + u^2\,</math> de modo que <math>h^2 = a^2 - (b-u)^2\,</math>. | Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece que <math>c^2 = h^2 + u^2\,</math> de modo que <math>h^2 = a^2 - (b-u)^2\,</math>. | ||
| Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos <math>c^2 = u^2 + a^2 - b^2 + 2bu - u^2\,</math>, es decir: | Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos <math>c^2 = u^2 + a^2 - b^2 + 2bu - u^2\,</math>, es decir: | ||
| - | {{Ecuación|<math>c^2 = a^2 - b^2 + 2bu\,</math>|3=left}} | + | <center><math>c^2 = a^2 - b^2 + 2bu\,</math></center> |
| Por la definición de coseno, se tiene cos(γ) = (b-u)/a, por tanto | Por la definición de coseno, se tiene cos(γ) = (b-u)/a, por tanto | ||
| - | <center>{{Ecuación|<math> u = b- a \,\cos \hat C\,</math></center> | + | <center><math> u = b- a \,\cos \hat C\,</math></center> |
| Sustituimos el valor de u en la expresión para <math>c^2\,</math> y simplificamos: <math>c^2 = a^2-b^2 +2b</math> (''b-a ''cos(γ)), concluyendo | Sustituimos el valor de u en la expresión para <math>c^2\,</math> y simplificamos: <math>c^2 = a^2-b^2 +2b</math> (''b-a ''cos(γ)), concluyendo | ||
| <center><math> c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \hat C</math></center> | <center><math> c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \hat C</math></center> | ||
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| De la definición de coseno, se tiene cos(γ) = (b+u)/a y por tanto | De la definición de coseno, se tiene cos(γ) = (b+u)/a y por tanto | ||
| - | <center>{{Ecuación|<math> u = a\, \cos\gamma -b\,</math></center> | + | <center><math> u = a\, \cos\gamma -b\,</math></center> |
| Sustituimos en la expresión para ''c²'' y simplificamos ''c² = a²-b² -2b''(''a'' cos(γ)-''b''), concluyendo nuevamente | Sustituimos en la expresión para ''c²'' y simplificamos ''c² = a²-b² -2b''(''a'' cos(γ)-''b''), concluyendo nuevamente | ||
| - | <center>{{Ecuación|<math> c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \gamma\,</math></center> | + | <center><math> c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \gamma\,</math></center> |
| Esto concluye la demostración. | Esto concluye la demostración. | ||
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Teorema de los senos
Teorema de los senos
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En un triángulo cualquiera se cumplen las siguientes igualdades:  |  |
Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento 
hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro 
.
Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que es un diámetro, y además los ángulos 
y 
son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abarcan el mismo segmento 
. Por la definición de seno, se tiene
donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:
Teorema del coseno
Teorema del coseno
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En un triángulo cualquiera se cumplen la siguiente relación:  Y analogamente:   | |
Notemos que el Teorema de Cosenos es equivalente al Teorema de Pitágoras cuando el ángulo γ es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando c es adyacente a dos ángulos agudos y cuando c es adyacente a un ángulo agudo y un obtuso.
Primer caso: c es adyacente a dos ángulos agudos. 
Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece que 
de modo que 
.
Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos 
, es decir:
Por la definición de coseno, se tiene cos(γ) = (b-u)/a, por tanto
Sustituimos el valor de u en la expresión para 
y simplificamos: c2 = a2 − b2 + 2b (b-a cos(γ)), concluyendo
y terminando con esto la prueba del primer caso.
Segundo caso: c es adyacente a un ángulo obtuso. 
Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente c² = h² + u² pero en este caso h² = a² - (b+u)². Combinando ambas ecuaciones obtenemos c2 = u2 + a2 − b2 − 2bu − u2 y de este modo:
