Resolución de triángulos cualesquiera (1ºBach)

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(Diferencia entre revisiones)

 {{Tabla75|celda2=[[Imagen:CosenosPorPitagoras1.png|right|230px]]
 |celda1=
-Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece que
+Consideremos la figura adjunta. La altura <math>h\,</math> divide al triángulo '''ABC''' en dos triángulos rectángulos. El teorema de Pitágoras aplicado a ambos establece que
+{{p}}
-<center><math>c^2 = h^2 + u^2\,</math></center>
+<center><math>c^2 = h^2 + u^2\,</math>{{b4}} y {{b4}}<math>h^2 = a^2 - (b-u)^2\,</math></center>
-y también que
-<center><math>h^2 = a^2 - (b-u)^2\,</math></center>
 Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos
 <center><math>c^2 = u^2 + a^2 - b^2 + 2bu - u^2=a^2 - b^2 + 2bu\,</math></center>
 Por la definición de coseno, se tiene:
-<center><math> cos \, \hat C = \cfrac{b-u}{a} \rightarrow u = b-a \,\cos \hat C\,</math></center>
+<center><math> cos \, \hat C = \cfrac{b-u}{a} \quad \rightarrow \quad u = b-a \,\cos \hat C\,</math></center>
+Sustituimos el valor de <math>u\,</math> en la expresión para <math>c^2\,</math> y simplificamos:
+<center><math>c^2 = a^2-b^2 +2b (b-a ''cos \, \hat C</math></center>
+concluyendo que
-Sustituimos el valor de <math>u\,</math> en la expresión para <math>c^2\,</math> y simplificamos: <math>c^2 = a^2-b^2 +2b</math> (''b-a ''cos(γ)), concluyendo
 <center><math> c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \hat C</math></center>
 y terminando con esto la prueba del primer caso.
 }}

Revisión de 08:02 2 mar 2009

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Teorema de los senos

Teorema de los senos

En un triángulo cualquiera se cumplen las siguientes igualdades:

$\cfrac{a}{sen \, \hat A}=\cfrac{b}{sen \, \hat B}=\cfrac{c}{sen \, \hat C}$

Demostración:[Mostrar]

Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento $\overline{BO}$ hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro $\overline{BP}$ .

Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que $\overline{BP}$ es un diámetro, y además los ángulos $\hat A$ y $\hat P$ son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abarcan el mismo segmento $\overline{BC}$ . Por la definición de seno, se tiene

$sen \, \hat A=sen \, \hat P=\cfrac{\overline{BC}}{\overline{BP}} = \cfrac{a}{2R}$

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

$\frac{a}{sen \, \hat A} = 2R$

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.

Teorema del coseno

Teorema del coseno

En un triángulo cualquiera se cumplen la siguiente relación:

$c^2=a^2+b^2-2bc \, cos \, \hat C$

Y analogamente:

$b^2=a^2+c^2-2ac \, cos \, \hat B$

$a^2=b^2+c^2-2bc \, cos \, \hat A$

Demostración:[Mostrar]

Notemos que el teorema de los cosenos es equivalente al teorema de Pitágoras cuando el ángulo $\hat A$ es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando dicho ángulo es agudo u obtuso.

Primer caso: $\hat A$ es agudo.

Consideremos la figura adjunta. La altura $h\,$ divide al triángulo ABC en dos triángulos rectángulos. El teorema de Pitágoras aplicado a ambos establece que