Resolución de triángulos cualesquiera (1ºBach)
De Wikipedia
(Diferencia entre revisiones)
Revisión de 07:53 2 mar 2009 Coordinador (Discusión | contribuciones) (→Teorema del coseno) ← Ir a diferencia anterior |
Revisión de 08:02 2 mar 2009 Coordinador (Discusión | contribuciones) (→Teorema del coseno) Ir a siguiente diferencia → |
||
Línea 50: | Línea 50: | ||
{{Tabla75|celda2=[[Imagen:CosenosPorPitagoras1.png|right|230px]] | {{Tabla75|celda2=[[Imagen:CosenosPorPitagoras1.png|right|230px]] | ||
|celda1= | |celda1= | ||
- | Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece que | + | Consideremos la figura adjunta. La altura <math>h\,</math> divide al triángulo '''ABC''' en dos triángulos rectángulos. El teorema de Pitágoras aplicado a ambos establece que |
- | + | {{p}} | |
- | <center><math>c^2 = h^2 + u^2\,</math></center> | + | <center><math>c^2 = h^2 + u^2\,</math>{{b4}} y {{b4}}<math>h^2 = a^2 - (b-u)^2\,</math></center> |
- | + | ||
- | y también que | + | |
- | + | ||
- | <center><math>h^2 = a^2 - (b-u)^2\,</math></center> | + | |
Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos | Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos | ||
+ | |||
<center><math>c^2 = u^2 + a^2 - b^2 + 2bu - u^2=a^2 - b^2 + 2bu\,</math></center> | <center><math>c^2 = u^2 + a^2 - b^2 + 2bu - u^2=a^2 - b^2 + 2bu\,</math></center> | ||
Por la definición de coseno, se tiene: | Por la definición de coseno, se tiene: | ||
- | <center><math> cos \, \hat C = \cfrac{b-u}{a} \rightarrow u = b-a \,\cos \hat C\,</math></center> | + | <center><math> cos \, \hat C = \cfrac{b-u}{a} \quad \rightarrow \quad u = b-a \,\cos \hat C\,</math></center> |
+ | |||
+ | Sustituimos el valor de <math>u\,</math> en la expresión para <math>c^2\,</math> y simplificamos: | ||
+ | |||
+ | <center><math>c^2 = a^2-b^2 +2b (b-a ''cos \, \hat C</math></center> | ||
+ | |||
+ | concluyendo que | ||
- | Sustituimos el valor de <math>u\,</math> en la expresión para <math>c^2\,</math> y simplificamos: <math>c^2 = a^2-b^2 +2b</math> (''b-a ''cos(γ)), concluyendo | ||
<center><math> c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \hat C</math></center> | <center><math> c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \hat C</math></center> | ||
+ | |||
y terminando con esto la prueba del primer caso. | y terminando con esto la prueba del primer caso. | ||
}} | }} |