Resolución de triángulos cualesquiera (1ºBach)
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| Sustituimos el valor de <math>u\,</math> en la expresión para <math>c^2\,</math> y simplificamos: | Sustituimos el valor de <math>u\,</math> en la expresión para <math>c^2\,</math> y simplificamos: | ||
| - | <center><math>c^2 = a^2-b^2 +2b (b-a ''cos \, \hat C</math></center> | + | <center><math>c^2 = a^2-b^2 +2b (b-a cos \, \hat C)</math></center> |
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| Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente que | Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente que | ||
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| - | <center><math>c^2 = h^2 + u^2\;</math></center> | + | <center><math>c^2 = h^2 + u^2\;</math> {{b4}} y {{b4}}<math>h^2 = a^2 - (b+u)^2\,</math></center> |
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| - | pero en este caso | + | |
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| Combinando ambas ecuaciones obtenemos | Combinando ambas ecuaciones obtenemos | ||
| - | <center><math> c^2 = u^2 + a^2 - b^2 - 2bu - u^2 </math></center> | + | <center><math> c^2 = u^2 + a^2 - b^2 - 2bu - u^2= a^2 -b^2 -2bu\, </math></center> |
| - | y de este modo | + | De la definición de coseno, se tiene: |
| - | <center><math>c^2 = a^2 -b^2 -2bu\,</math></center> | + | <center><math> cos \, \hat C = \cfrac{b+u}{a} \quad \rightarrow \quad u = a\, \cos\gamma -b\,</math></center> |
| - | De la definición de coseno, se tiene cos \, \hat C = \cfrac{b+u}{a} y por tanto | + | Sustituimos en la expresión para <math>c^2\,</math> y simplificamos |
| - | <center><math> u = a\, \cos\gamma -b\,</math></center> | + | <center><math>c^2 = a^2-b^2 -2b(a cos \, \hat C -b)\,</math></center> |
| - | Sustituimos en la expresión para <math>c^2\,</math> y simplificamos <math>c^2 = a^2-b^2 -2b\,</math>(''a'' cos(γ)-''b''), concluyendo nuevamente | + | concluyendo nuevamente |
| <center><math> c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \gamma\,</math></center> | <center><math> c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \gamma\,</math></center> | ||
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| Esto concluye la demostración. | Esto concluye la demostración. | ||
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Revisión de 08:06 2 mar 2009
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Teorema de los senos
Teorema de los senos
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En un triángulo cualquiera se cumplen las siguientes igualdades:  |  |
Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento 
hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro 
.
Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que es un diámetro, y además los ángulos 
y 
son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abarcan el mismo segmento 
. Por la definición de seno, se tiene
donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:
Teorema del coseno
Teorema del coseno
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En un triángulo cualquiera se cumplen la siguiente relación:  Y analogamente:   | |
Notemos que el teorema de los cosenos es equivalente al teorema de Pitágoras cuando el ángulo es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando dicho ángulo es agudo u obtuso.
Primer caso: es agudo.
Consideremos la figura adjunta. La altura  divide al triángulo ABC en dos triángulos rectángulos. El teorema de Pitágoras aplicado a ambos establece que
 y  Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos  Por la definición de coseno, se tiene:  Sustituimos el valor de  concluyendo que  y terminando con esto la prueba del primer caso. |  |
en la expresión para 
y simplificamos:
Segundo caso: es obtuso.
Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente que
 y  Combinando ambas ecuaciones obtenemos  De la definición de coseno, se tiene:  Sustituimos en la expresión para  concluyendo nuevamente  |  |
