Resolución de triángulos cualesquiera (1ºBach)

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Teorema de los senos

Teorema de los senos

En un triángulo cualquiera se cumplen las siguientes igualdades:

$\cfrac{a}{sen \, \hat A}=\cfrac{b}{sen \, \hat B}=\cfrac{c}{sen \, \hat C}$

Además, todos estos cocientes son iguales a $2R\,$ , donde $R\,$ es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Demostración:

Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento $\overline{BO}$ hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro $\overline{BP}$ .

Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que $\overline{BP}$ es un diámetro, y además los ángulos $\hat A$ y $\hat P$ son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abarcan el mismo segmento $\overline{BC}$ . Por la definición de seno, se tiene

$sen \, \hat A=sen \, \hat P=\cfrac{\overline{BC}}{\overline{BP}} = \cfrac{a}{2R}$

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

$\frac{a}{sen \, \hat A} = 2R$

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.

Ejemplo: Teorema de los senos

De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.

Solución:

$\hat A=180^\circ -45^\circ - 105^\circ= 30^\circ$

$\cfrac{6}{sen \, 30^\circ}=\cfrac{b}{sen \, 45^\circ} \quad \rightarrow \quad b=6 \cdot \cfrac{sen \ 45^\circ}{sen \, 30^\circ}=6 \cdot \cfrac{\cfrac{\sqrt{2}}{2}}{\cfrac{1}{2}}=6 \, \sqrt{2} \, m$

$\cfrac{6}{sen \, 30^\circ}=\cfrac{c}{sen \, 105^\circ} \quad \rightarrow \quad c=6 \cdot \cfrac{sen \ 105^\circ}{sen \, 30^\circ}=11.6 \, m$

Teorema del coseno

Teorema del coseno

En un triángulo cualquiera se cumplen la siguiente relación:

$c^2=a^2+b^2-2bc \, cos \, \hat C$

Y analogamente:

$b^2=a^2+c^2-2ac \, cos \, \hat B$

$a^2=b^2+c^2-2bc \, cos \, \hat A$

Demostración:

Notemos que el teorema de los cosenos es equivalente al teorema de Pitágoras cuando el ángulo $\hat A$ es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando dicho ángulo es agudo u obtuso.

Primer caso: $\hat A$ es agudo.

Consideremos la figura adjunta. La altura $h\,$ divide al triángulo ABC en dos triángulos rectángulos. El teorema de Pitágoras aplicado a ambos establece que

$c^2 = h^2 + u^2\,$ y $h^2 = a^2 - (b-u)^2\,$

Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos

$c^2 = u^2 + a^2 - b^2 + 2bu - u^2=a^2 - b^2 + 2bu\,$

Por la definición de coseno, se tiene:

$cos \, \hat C = \cfrac{b-u}{a} \quad \rightarrow \quad u = b-a \,\cos \hat C\,$

Sustituimos el valor de $u\,$ en la expresión para $c^2\,$ y simplificamos:

$c^2 = a^2-b^2 +2b (b-a cos \, \hat C)$

concluyendo que

$c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \hat C$

y terminando con esto la prueba del primer caso.

Segundo caso: $\hat A$ es obtuso.

Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente que

$c^2 = h^2 + u^2\;$ y $h^2 = a^2 - (b+u)^2\,$

Combinando ambas ecuaciones obtenemos

$c^2 = u^2 + a^2 - b^2 - 2bu - u^2= a^2 -b^2 -2bu\,$

De la definición de coseno, se tiene:

$cos \, \hat C = \cfrac{b+u}{a} \quad \rightarrow \quad u = a\, cos \, \hat C -b$

Sustituimos en la expresión para $c^2\,$ y simplificamos

$c^2 = a^2-b^2 -2b(a cos \, \hat C -b)\,$

concluyendo nuevamente

$c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, cos \hat C$

Esto concluye la demostración.

Ejemplo: Teorema del coseno

Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los lados.

Solución:

Aplicamos el teorema del coseno al triángulo AOD:

$\overline{AD}=\sqrt{5^2+6^2-2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot cos \, 48^\circ \, 15'}=4.5877 \, cm$

Ahora aplicamos el teorema del coseno al triángulo AOB

$180^\circ-48^\circ \, 15'=135^\circ \, 45'$

$\overline{AB}=\sqrt{5^2+6^2-2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot cos \, 135^\circ \, 45'}=10.047 \, cm$

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