Ecuaciones trigonométricas (1ºBach)

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Ecuaciones trigonométricas

Una ecuación trigonométrica es aquella en la que las incógnitas aparecen formando parte de los argumentos de funciones trigonométricas.

Como las incógnitas son ángulo, tenemos que averiguar qué valores del ángulo son solución. En consecuencia, si existe alguna solución, éstas van a ser infinitas (todos los ángulos coterminales con el que hallemos), pero normalmente nos bastará con dar la solución comprendida entre 0º y 360º. También puede darse la solución en radianes.

Las estrategias a seguir para resolver estas ecuaciones, son muy diversas: cambio de variable, uso de identidades trigonométricas fundamentales y de fórmulas trigonométricas, etc. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos: Ecuaciones trigonométricas

Resuelve las siguientes ecuaciones:

$2 \, tg \, x - 3\, cot \, x - 1=0$
$cos^2 \, x - 3\, sen^2 \, x =0$

Solución:

1. $2 \, tg \, x - 3\, cot \, x - 1=0$

$2 \, tg \, x - \cfrac{3}{tg \, x} - 1=0$

$2 \, tg^2 \, x - tg \, x - 3=0$

Hacemos un cambio de variable: $z= tg \, x$

$2z^2- z - 3=0 \,$

$z=\cfrac{1 \pm \sqrt{1+24}}{4}=\cfrac{1 \pm 5}{4}= \begin{cases} z_1=\cfrac{3}{2}\\ z_2=-1 \end{cases}$

$\begin{cases} z_1=\cfrac{3}{2} \rightarrow tg \, x_1=\cfrac{3}{2} \rightarrow x_1 = arctg \, \cfrac{3}{2}=56^\circ \, 18' \, 35'' + 180^\circ \cdot k\\ z_2=-1 \rightarrow tg \, x_2=-1 \rightarrow x_2 = arctg \, -1=135^\circ + 180^\circ \cdot k \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}$

Soluciones:

$\begin{cases} x_1 =56^\circ \, 18' \, 35'' + 180^\circ \cdot k\\x_2=135^\circ + 180^\circ \cdot k\end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}$

2. $cos^2 \, x - 3\, sen^2 \, x =0$

Usando la identidad fundamental: $sen^2 \, x + cos^2 \, x = 1 \rightarrow cos^2 \, x = 1 - sen^2 \, x$

$1-sen^2 \, x - 3\, sen^2 \, x =0$

$1-4 \, sen^2 \, x =0 \rightarrow sen^2 \, x =\cfrac{1}{4}\rightarrow sen \, x =\pm \cfrac{1}{2}$

Soluciones:

$x=\begin{cases} arcsen \, \cfrac{1}{2}= \begin{cases} x_1 =30^\circ + 360^\circ \cdot k \\ x_2 =150^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases} \\ arcsen \, -\cfrac{1}{2}= \begin{cases} x_3 =210^\circ + 360^\circ \cdot k \\ x_4 =330^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases} x_2=135^\circ + 180^\circ \cdot k \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}$

http://www.vitutor.com/al/trigo/trigo_4.html

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Ecuaciones_trigonom%C3%A9tricas_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría | Funciones

 Resuelve las siguientes ecuaciones:
 # <math>2 \, tg \, x - 3\, cot \, x - 1=0</math>
-# <math>cos^2 \, x - 3\, sen^2 \, x =0</math>
+# {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>cos^2 \, x - 3\, sen^2 \, x =0</math>}}
 |sol=
-'''1.''' <math>2 \, tg \, x - 3\, cot \, x - 1=0</math>
+'''1.'''{{b4}}<math>2 \, tg \, x - 3\, cot \, x - 1=0</math>
 :<math>2 \, tg \, x - \cfrac{3}{tg \, x} - 1=0</math>
 ----
-'''2.''' <math>cos^2 \, x - 3\, sen^2 \, x =0</math>
+'''2.'''{{b4}}{{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>cos^2 \, x - 3\, sen^2 \, x =0</math>}}
+Usando la identidad fundamental: <math>sen^2 \, x + cos^2 \, x = 1 \rightarrow cos^2 \, x = 1 - sen^2 \, x</math>
+:<math>1-sen^2 \, x - 3\, sen^2 \, x =0</math>
+:<math>1-4 \, sen^2 \, x =0 \rightarrow sen^2 \, x =\cfrac{1}{4}\rightarrow sen \, x =\pm \cfrac{1}{2}</math>
+'''Soluciones:'''
+:<math>x=\begin{cases}  arcsen \, \cfrac{1}{2}=
+\begin{cases}
+x_1 =30^\circ + 360^\circ \cdot k
+\\
+x_2 =150^\circ + 360^\circ \cdot k
+\end{cases}
+\\
+ arcsen \, -\cfrac{1}{2}=
+\begin{cases}
+x_3 =210^\circ + 360^\circ \cdot k
+\\
+x_4 =330^\circ + 360^\circ \cdot k
+\end{cases}
+x_2=135^\circ  + 180^\circ \cdot k \end{cases}  \, , \quad k \in \mathbb{Z}</math>
 ----
 }}
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