Factorización de polinomios (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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1 Divisibilidad de polinomios
2 Raíces de un polinomio
3 Factorización de polinomios
4 Ejercicios propuestos
5 Ejercicios y videotutoriales

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Divisibilidad de polinomios

(pág. 74)

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Polinomios múltiplos y divisores

Un polinomio $Q(x)\,$ es divisor de otro, $P(x)\,$ y lo representaremos por $Q(x)|P(x)\;$ , si la división $P(x):\,Q(x)\,$ es exacta, es decir, cuando existe otro polinomio $C(x)\;$ tal que $P(x)=\,Q(x)\cdot C(x)\,$ .

En tal caso, diremos que $P(x)\,$ es divisible por $Q(x)\,$ y que $P(x)\,$ es un múltiplo de $Q(x)\,$ .
También diremos que $Q(x)\,$ y $C(x)\,$ son factores del polnomio $P(x)\,$ .

Ejemplo [Mostrar]

La divisibilidad de polinomios es semejante a la divisibilidad con números enteros. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de máximo común divisor, mínimo común múltiplo e irreducibilidad son similares a los correspondientes conceptos numéricos.

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Polinomios irreducibles

Un polinomio $P(x)\,$ es irreducible cuando ningún polinomio de grado inferior (distinto de grado cero) es divisor suyo.

Ejemplos [Mostrar]

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Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Se dice que el polinomio $D(x)\;$ es el máximo común divisor de los polinomios $P(x)\;$ y $Q(x)\;$ , y lo expresaremos:

$m.c.d \,[P(x), Q(x)]=D(x)\;$

si $D(x)\;$ es divisor de ambos y no existe otro polinomio que divida a ambos que tenga mayor grado que él.

Ejemplos [Mostrar]

Se dice que el polinomio $M(x)\;$ es el mínimo común múltiplo de los polinomios $P(x)\;$ y $Q(x)\;$ , y lo expresaremos:

$m.c.m \,[P(x), Q(x)]=M(x)\;$

si $D(x)\;$ es múltiplo de ambos y no existe otro polinomio que sea múltiplo de ambos que tenga menor grado que él.

Ejemplos [Mostrar]

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Raíces de un polinomio

Un número $a\,$ es una raíz o un cero de un polinomio $P(x)\,$ , si $P(a)\, = 0\,$ .

Dicho de otra forma, las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación $P(x)\,= 0\,$ .

Raíces de un polinomio (8'40") Sinopsis:[Mostrar]

Teorema del factor

$x=a\;$ es una raíz de un polinomio $P(x)\;$ si y solo si $(x-a)\;$ es un factor de dicho polinomio.

Demostración:[Mostrar]

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Factorización de polinomios

Factorizar un polinomio es descomponerlo como producto de otros polinomios con menor grado que el de partida.

Normalmente buscaremos la factorización máxima, que es la que se obtiene cuando los polinomios de la descomposición son irreducibles.

Por el teorema del factor, encontrar las raíces del polinomio nos ayudará a factorizarlo.

Divisibilidad y factorización de polinomios [Mostrar]

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Factorización sacando factor común

Si quieres recordar cómo se saca factor común, a continuación tienes el enlace:

Recuerda cómo se saca factor común

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Factorización usando productos notables

Si quieres recordar las identidades notables y cómo se factoriza usando dichas identidades, aquí tienes el enlace:

Recuerda los productos notables y su uso en factorización

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Factorización de polinomios de grado 2

Factorización de polinomios de segundo grado

Un polinomio de segundo grado, $kx^2+mx+n\;$ , con raíces rales, $a\;$ y $b\;$ , se puede factorizar de la forma

$k(x-a)(x-b)\;$

Ejemplos: Factorización de polinomios de segundo grado y reducibles

Factoriza los siguientes polinomios

a) $5x^2+5x-60\;$

b) $5x^3+5x^2-60x\;$

Solución:[Mostrar]

Factorización de polinomios de grado 2 [Mostrar]

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Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2

(pág. 75)

Procedimiento para factorizar polinomios

Siempre que se pueda, sacaremos $x\;$ factor común.
Mediante la regla de Ruffini podremos buscar las raíces enteras o fraccionarias del polinomio y obtener la factorización.

Un polinomio de grado mayor que 2 no pueda factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con los conocimientos que tenemos.

En algunos casos, como en el de los polinomios bicuadrados, si podremos hallarle las raices, resolviendo la ecuación bicuadrada que resulta de igualarlo a cero.

Ejemplos: Factorización de polinomios bicuadrados

Factoriza el siguiente polinomio: $P(x)=x^4 - 7x^2 + 6 \;\!$

Solución:[Mostrar]

Factorización de polinomios de grado mayor que 2 [Mostrar]

Factorización de polinomios bicuadrados [Mostrar]

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Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini

Factorización de un polinomio por Ruffini

Para factorizar un polinomio mediante la regla de Ruffini, aplicaremos ésta sucesivamente, utilizando como candidatos a raíces enteras, los divisores del término independiente y como candidatos a raices fraccionarias, las que resultan de dividir los divisores del término independiente entre los divisores del término de mayor grado.

Nota: [Mostrar]

Ejemplo: Regla de Ruffini

Factoriza el siguiente polinomio:

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2\,\!$

Solución:[Mostrar]

Primero sacamos factor común $3x^2\,\!$ :

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 = 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70)\,\!$

Ahora aplicamos Ruffini. Los divisores de $70\,\!$ son $1,\ -1,\ 2,\ -2,\ 5,\ -5,\ \mbox{etc.}\,\!$

Empezaremos probando con el 1:

   | 1  -1  -39  109  -70
   |                   
  1|     1    0  -39   70
 --|----------------------
   | 1   0  -39   70  |0
                      |____

Como el resto es cero, hemos encontrado una de las raíces, $x=1\;$ y uno de los factores $(x-1)\;$ .

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!$

$= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70)=\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!$

Seguimos aplicando Ruffini. Probamos con 1, de nuevo ya que podría repetirse dicha raíz:

   | 1   0  -39   70
   |                   
  1|     1    1   38
 --|-----------------
   | 1   1   38 |108
                |____

El resto es diferente de cero con lo que tenemos que seguir probando, con el -1:

   | 1   0  -39   70
   |                   
 -1|    -1    1   38
 --|-----------------
   | 1  -1  -38 |108
                |____

El resto vuelve a ser diferente de cero, probamos con 2:

   | 1  0  -39   70
   |                   
  2|    2    4  -70
 --|----------------
   | 1  2  -35   |0
                 |____

Ya hemos encontrado otra raíz, $x=2\;$ , y el factor correspondiente, $(x-2)\;$ .

El polinomio quedará de la siguiente forma:

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!$

$= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70)=\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x-2)(x^2+2x-35)\,\!$

Finalmente para encontrar las dos últimas raíces utilizamos la fórmula de la ecuación de 2º grado:

$x^2+2x-35=0 \rightarrow x=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 -4 \cdot (-35)}}{2}=\frac{-2 \pm 12}{2}=\begin{cases} x_1=-7 \\ x_2=5 \end{cases}$

Así, sus raíces son 5 y -7 y sus factores (x-5) y (x+7).

De esta manera:

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!$

$= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70=\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x-2)(x^2+2x-35)\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x-2)(x-5)(x+7)\,\!$

Con lo que queda descompuesto el polinomio.

Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini [Mostrar]

Tutorial 1 (26'17") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2 (9´55") Sinopsis: [Mostrar]

Tutorial 3 (9'19") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 1 (11´14") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 2 (9´29") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 3 (9´36") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 4 (9´27") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 5 (8'59") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 6 (9'25") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 7 (8'14") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 8 (7'01") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 9 (8'01") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 10 (8'01") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 11 (8'33") Sinopsis: [Mostrar]

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Factorización de polinomios

(Pág. 75)

1, 2

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Ejercicios y videotutoriales

Ejercicios: Factorización de polinomios Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación: Raíces de polinomios Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación: Factorización de polinomios Descripción: [Mostrar]

Ejercicios: Factorización de polinomios [Mostrar]

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Factorizaci%C3%B3n_de_polinomios_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Álgebra

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-==Divisibilidad de polinomios==
+{{Factorización de polinomios (1ºBach)}}
-===Polinomios múltiplos y divisores===
-La divisibilidad en el conjunto de los polinomios es muy similar a la .
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-{{Caja_Amarilla|texto=Un polinomio <math>D(x)\,</math> es '''divisor''' de otro, <math>P(x)\,</math> y lo representaremos por <math>P(x)|Q(x)\;</math>, si la división <math>P(x):\,D(x)\,</math> es exacta. Es decir, cuando
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-En tal caso, diremos que <math>P(x)\,</math> es '''divisible''' por <math>Q(x)\,</math>. También diremos que <math>P(x)\,</math> es un '''múltiplo''' de <math>D(x)\,</math>.
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-La divisibilidad de polinomios es semejante a la [[Divisibilidad|divisibilidad con números enteros]]. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de '''máximo común divisor''', '''mínimo común múltiplo''' e '''irreducibilidad'''  son similares a los correspondientes conceptos numéricos.
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-===Polinomios irreducibles===
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-Son polinomios irreducibles, entre otros:
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-==Factorización de polinomios==
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-Un polinomio de segundo grado, <math>kx^2+mx+n\;</math>, con raíces rales, <math>a\;</math> y <math>b\;</math>, se puede factorizar de la forma
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-*El polinomio <math>5x^2+5x-60\;</math> tiene dos raíces: <math>x_1=3,\ x_2=-4</math>, que se obtienen de resolver la ecuación de segundo grado <math>5x^2+5x-60=0\;</math>. Entonces:
-{{p}}
-<center><math>5x^2+5x-60=5(x-3)(x+4)\;</math></center>
-{{p}}
-*El polinomio incompleto de grado 3, <math>5x^3+5x^2-60x\;</math>, se puede descomponer de la siguiente manera:
-{{p}}
-<center><math>5x^3+5x^2-60x=x(5x^2+5x-60)=5x(x-3)(x+4)\;</math></center>
-{{p}}
-:(Observa que primero hemos sacado factor común <math>x\;</math> y luiego hemos factorizado el polinomio de grado 2, como hicimos en el ejemplo anterior).
-}}
-===Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2===
-*Siempre que se pueda, sacaremos x '''factor común'''.
-*Mediante la '''[[Cociente de Polinomios. Regla de Ruffini (4ºESO-B)#División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini|regla de Ruffini]]''' buscaremos las raíces enteras del polinomio, que se hallan entre los divisores del término independiente. Así, si encontramos una raíz <math>x=a\;</math> de un polinomio <math>P(x)\;</math>, tendremos que <math>P(x)=(x-a)Q(x)\;</math>, donde <math>Q(x)\;</math> tiene un grado menos que <math>P(x)\;</math>.
-*Si es un '''polinomio bicuadrado''', ax^4+bx^2+c\;, podremos hallarle las raices resolviendo la ecuación bicuadrada que resulta de igualarlo a cero.
-*Si un polinomio de grado mayor que 2 no puede factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con lo sconocimientos que tenemos.
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Factorización de polinomios de grado 2

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