Puntos y vectores el plano (1ºBach)
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==Coordenadas del vector que une dos puntos== | ==Coordenadas del vector que une dos puntos== | ||
{{Teorema|titulo=Coordenadas del vector que une dos puntos|enunciado= | {{Teorema|titulo=Coordenadas del vector que une dos puntos|enunciado= | ||
- | :Dados dos puntos del plano de coordenadas <math>A(x_1,y_1)\,</math> y <math>B(x_2,y_2)\,</math>, respecto de un sistema de referencia {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\mathfrak{R}</math>}}, entonces {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)</math>}}. | + | :Dados dos puntos del plano de coordenadas <math>A(x_1,y_1)\,</math> y <math>B(x_2,y_2)\,</math>, respecto de un sistema de referencia {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\mathfrak{R}</math>}}, entonces {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)</math>}}. |
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Como {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB} \quad \rightarrow \quad \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}</math>}} | Como {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB} \quad \rightarrow \quad \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}</math>}} | ||
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==Condición para que tres puntos estén alineados== | ==Condición para que tres puntos estén alineados== | ||
+ | {{Teorema|titulo=Condición para que tres puntos estén alineados|enunciado= | ||
+ | :Los puntos del plano <math>A(x_1,y_1)\,</math>, <math>B(x_2,y_2)\,</math> y <math>C(x_3,y_3)\,</math>, están alineados si se cumple: | ||
+ | <center><math>\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2}</math></center> | ||
+ | |demo= | ||
+ | Los puntos del plano <math>A(x_1,y_1)\,</math>, <math>B(x_2,y_2)\,</math> y <math>C(x_3,y_3)\,</math>, están alineados si los vectores {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)</math>}} y {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{BC}=(x_3-x_2,y_3-y_2)</math>}} tienen la misma dirección. | ||
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+ | Ahora, esto ocurre si los vectores son proporcionales: {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{AB}=\lambda \, \overrightarrow{BC}</math>}} | ||
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+ | :<math>(x_2-x_1,y_2-y_1)=\lambda \, (x_3-x_2,y_3-y_2) \rightarrow | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | x_2-x_1=\lambda \, (x_3-x_2) \rightarrow \lambda=\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2} | ||
+ | \\ | ||
+ | y_2-y_1=\lambda \, (y_3-y_2) \rightarrow \lambda=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2} | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
+ | |||
+ | Igualando ambas expresiones del <math>\lambda \,</math>, se obtiene lo que buscamos. | ||
+ | }} | ||
+ | {{p}} | ||
==Punto medio de un segmento== | ==Punto medio de un segmento== | ||
==Simétrico de un punto respecto de otro== | ==Simétrico de un punto respecto de otro== |
Revisión de 19:32 16 mar 2009
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Tabla de contenidos |
Sistema de referencia en el plano
Un sistema de referencia del plano consiste en una terna , donde es un punto fijo, llamado origen, y una base de vectores del plano.
Vector de posición de un punto
- En un sistema de referencia , cada punto del plano tiene asociado un vector fijo , llamado vector de posición del punto .
- Si el vector tiene coordenadas respecto de la base , el punto tendrá coordenadas respecto del sistema de referencia .
Vector de dirección de una recta
- Una recta queda determinada por un punto y un vector que fije su dirección, a dicho vector lo llamaremos vector de dirección de la recta.
- Dos puntos y de una recta determinan un vector de dirección de la misma, .
Coordenadas del vector que une dos puntos
Coordenadas del vector que une dos puntos
- Dados dos puntos del plano de coordenadas y , respecto de un sistema de referencia , entonces .
Demostración:
Como
Por tanto,Condición para que tres puntos estén alineados
Condición para que tres puntos estén alineados
- Los puntos del plano , y , están alineados si se cumple:
Demostración:
Los puntos del plano , y , están alineados si los vectores y tienen la misma dirección.
Ahora, esto ocurre si los vectores son proporcionales: