Puntos y vectores el plano (1ºBach)
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- | :Las coordenadas del puinto medio, <math>M\,</math>, de un segmento de extremos <math>A(x_1,y_1)\,</math> y <math>B(x_2,y_2)\,</math> son: | + | :Las coordenadas del punto medio, <math>M\,</math>, de un segmento de extremos <math>A(x_1,y_1)\,</math> y <math>B(x_2,y_2)\,</math> son: |
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==Simétrico de un punto respecto de otro== | ==Simétrico de un punto respecto de otro== | ||
+ | {{Teorema|titulo=Simétrico de un punto respecto de otro|enunciado= | ||
+ | :El punto simétrico de <math>A(x,y)\,</math> respecto del punto <math>P(a,b)\,</math> es <math>A'=(2a-x,2b-y)\,</math>. | ||
+ | |demo= | ||
+ | [[Imagen:puntosimetrico.gif|right]] | ||
+ | :El punto <math>P(a,b)\,</math> es el punto medio del segmento {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overline{AA'}</math>}}. | ||
+ | Aplicando la fórmula del punto medio: | ||
+ | ::<math>P=(a,b)=\Big( \cfrac{x+x'}{2}, \cfrac{y+y'}{2} \Big) \rightarrow | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | a=\cfrac{x+x'}{2} \rightarrow x'=2a-x | ||
+ | \\ | ||
+ | b=\cfrac{y+y'}{2} \rightarrow y'=2a-y | ||
+ | \end{cases} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | :Con lo que obtenemos lo que buscabamos. | ||
+ | }} | ||
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Tabla de contenidos |
Sistema de referencia en el plano
Un sistema de referencia del plano consiste en una terna , donde es un punto fijo, llamado origen, y una base de vectores del plano.
Vector de posición de un punto
- En un sistema de referencia , cada punto del plano tiene asociado un vector fijo , llamado vector de posición del punto .
- Si el vector tiene coordenadas respecto de la base , el punto tendrá coordenadas respecto del sistema de referencia .
Vector de dirección de una recta
- Una recta queda determinada por un punto y un vector que fije su dirección, a dicho vector lo llamaremos vector de dirección de la recta.
- Dos puntos y de una recta determinan un vector de dirección de la misma, .
Coordenadas del vector que une dos puntos
Coordenadas del vector que une dos puntos
- Dados dos puntos del plano de coordenadas y , respecto de un sistema de referencia , entonces:
Demostración:
Como
Por tanto,Condición para que tres puntos estén alineados
Condición para que tres puntos estén alineados
- Los puntos del plano , y , están alineados si se cumple:
Demostración:
Los puntos del plano , y , están alineados si los vectores y tienen la misma dirección.
Ahora, esto ocurre si los vectores son proporcionales:
Punto medio de un segmento
Punto medio de un segmento
- Las coordenadas del punto medio, , de un segmento de extremos y son:
Simétrico de un punto respecto de otro
Simétrico de un punto respecto de otro
- El punto simétrico de respecto del punto es .