Puntos y vectores el plano (1ºBach)

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1 Sistema de referencia en el plano
2 Coordenadas del vector que une dos puntos
3 Condición para que tres puntos estén alineados
4 Punto medio de un segmento
5 Simétrico de un punto respecto de otro

Sistema de referencia en el plano

Un sistema de referencia del plano consiste en una terna $\mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}$ , donde $O\,$ es un punto fijo, llamado origen, y $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ una base de vectores del plano.

En este sistema de referencia, cada punto $P\,$ del plano tiene asociado un vector fijo $\overrightarrow{OP}$ , llamado vector de posición del punto $P\,$ .

Si el vector $\overrightarrow{OP}$ tiene coordenadas $(a,b)\,$ respecto de la base $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ , el punto $P\,$ diremos que tiene coordenadas $(a,b)\,$ respecto del sistema de referencia $\mathfrak{R}$ .

Normalmente trabajaremos con un sistema de referencia en el que la base es ortonormal.

Actividad interactiva: Sistema de referencia en el plano

Actividad 1: En la siguiente escena tenemos un punto $P\,$ y su vector de posición $\overrightarrow{OP}$ de coordenadas $(4,3)\,$ respecto de una base ortonormal $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ .

Actividad:[Mostrar]

Coordenadas del vector que une dos puntos

Coordenadas del vector que une dos puntos

Dados dos puntos del plano de coordenadas $A(x_1,y_1)\,$ y $B(x_2,y_2)\,$ , respecto de un sistema de referencia $\mathfrak{R}$ , entonces:

$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$

Demostración:[Mostrar]

Actividad interactiva: Coordenadas del vector que une dos puntos

Actividad 1: En la siguiente escena tenemos dos puntos $A(4,8)\,$ y $B(7,2)\,$ que dan lugar al vector $\overrightarrow{AB}$ .

Actividad:[Mostrar]

Condición para que tres puntos estén alineados

Condición para que tres puntos estén alineados

Los puntos del plano $A(x_1,y_1)\,$ , $B(x_2,y_2)\,$ y $C(x_3,y_3)\,$ , están alineados si se cumple:

$\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2}$

Demostración:[Mostrar]

Actividad interactiva: Condición para que tres puntos estén alineados

Actividad 1: En la siguiente escena comprobarás si tres los puntos, $A(-7,-2)\,$ , $B(-1,0)\,$ y $C(11,4)\,$ , están alineados.

Actividad:[Mostrar]

Actividad 2: En esta escena tenemos tres puntos $P(1,4)\,$ , $Q(5,-2)\,$ y $R(m,n)\,$ . Vamos a variar $m\,$ y $n\,$ , para conseguir que los tres puntos estén alineados.

Actividad:[Mostrar]

Punto medio de un segmento

Punto medio de un segmento

Las coordenadas del punto medio, $M\,$ , de un segmento de extremos $A(x_1,y_1)\,$ y $B(x_2,y_2)\,$ son:

$M=\Big( \cfrac{x_1+x_2}{2}, \cfrac{y_1+y_2}{2} \Big)$

Demostración:[Mostrar]

Simétrico de un punto respecto de otro

Simétrico de un punto respecto de otro

El punto simétrico de $A(x,y)\,$ respecto del punto $P(a,b)\,$ es:

$A'=(2a-x,2b-y)\,$ .

Demostración:[Mostrar]

Actividad interactiva: Punto medio y punto simétrico

Cálculo del punto medio de un segmento del plano.
Cálculo del punto simétrico de un punto dado respecto de otro.

Actividad:[Mostrar]

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Puntos_y_vectores_el_plano_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

 }}
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-|enunciado='''Actividad 2:''' En esta escena tenemos tres puntos <math>P(1,4)\,</math>, <math>Q(5,-2)\,</math> y <math>R(m,n)\,</math>. Vamos a variar '''m''' y '''n''', para conseguir que los tres puntos estén alineados.
+|enunciado='''Actividad 2:''' En esta escena tenemos tres puntos <math>P(1,4)\,</math>, <math>Q(5,-2)\,</math> y <math>R(m,n)\,</math>. Vamos a variar <math>m\,</math> y <math>n\,</math>, para conseguir que los tres puntos estén alineados.
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-Moviendo adecuadamente el punto <math>R\,</math>, o cambiando los valores de '''m''' y/o '''n''', puedes conseguir que los tres puntos estén en la misma recta azul, o sea, alineados.
+Moviendo adecuadamente el punto <math>R\,</math>, o cambiando los valores de <math>m\,</math> y/o <math>n\,</math>, puedes conseguir que los tres puntos estén en la misma recta azul, o sea, alineados.
-#Mueve el punto <math>R\,</math>, para que sea '''m=6''', y esté alineado con <math>P\,</math> y <math>Q\,</math>. Anota en tu cuaderno el valor de '''n''' obtenido.
+#Mueve el punto <math>R\,</math>, para que sea <math>m=6n\,</math>, y esté alineado con <math>P\,</math> y <math>Q\,</math>. Anota en tu cuaderno el valor de <math>n\,</math> obtenido.
-#Los siguientes cálculos nos permiten hallar el valor de '''n''' que hemos observado en el apartado anterior:
+#Los siguientes cálculos nos permiten hallar el valor de <math>n\,</math> que hemos observado en el apartado anterior:
 <center><math>\overrightarrow{PQ}=(5-1,-2-4)=(4,-6); \quad \overrightarrow{QR}=(6-5,n+2)=(1,n+2) </math></center>
 '''Ejercicio:'''
-. Ahora mueve el punto <math>R\,</math> para que sea '''n=6''', y esté alineado con <math>P\,</math> y <math>Q\,</math>. Anota en tu cuaderno el valor de '''m''' obtenido.
+. Ahora mueve el punto <math>R\,</math> para que sea <math>n=6\,</math>, y esté alineado con <math>P\,</math> y <math>Q\,</math>. Anota en tu cuaderno el valor de <math>m\,</math> obtenido.
-Escribe en tu cuaderno los cálculos necesarios para obtener el valor de '''m''' que has observado en el apartado anterior.
+Escribe en tu cuaderno los cálculos necesarios para obtener el valor de <math>m\,</math> que has observado en el apartado anterior.
-'''2.''' Mueve en la escena el punto R en un lugar cualquiera que haga que P, Q y R estén alineados, y después de anotar las coordenadas de R observadas, comprueba con cálculos, que las coordenadas de los vectores {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{PQ}</math>}} y {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{QR}</math>}} son proporcionales.
+'''2.''' Mueve en la escena el punto <math>R\,</math> en un lugar cualquiera que haga que los tres puntos estén alineados, y después de anotar las coordenadas de <math>R\,</math> observadas, comprueba con cálculos, que las coordenadas de los vectores {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{PQ}</math>}} y {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{QR}</math>}} son proporcionales.
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