Ecuaciones de una recta en el plano (1ºBach)
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==Ecuación continua de la recta== | ==Ecuación continua de la recta== | ||
- | A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta, despejando el parámetro <math>t\,</math> (siempre y cuando las dos coordenadas del vector {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{d}(d_1,d_2)</math>}} sean distintas de cero), tenemos: | + | {{Caja_Amarilla|texto='''Ecuación continua''' de la recta <math>r\,</math>, con vector director {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{d}(d_1,d_2)\quad (d_1 \ne 0; \quad d_2 \ne 0)</math>}} y que pasa por un punto <math>P(p_1,p_2)\,</math>: |
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+ | {{Caja|contenido=<math>\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{y-p_2}{d_2}</math>}} | ||
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+ | {{Desplegable|titulo=Deducción:{{b}}|contenido=A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta, despejando el parámetro <math>t\,</math> (siempre y cuando las dos coordenadas del vector {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{d}(d_1,d_2)</math>}} sean distintas de cero), tenemos: | ||
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</math></center> | </math></center> | ||
- | Igualando ambos valores de <math>t\,</math>, obtenemos la siguiente ecuación: | + | Igualando ambos valores de <math>t\,</math>, obtenemos la ecuación. |
- | {{Caja_Amarilla|texto='''Ecuación continua''' de la recta <math>r\,</math>, con vector director {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{d}(d_1,d_2)\quad (d_1 \ne 0; \quad d_2 \ne 0)</math>}} y que pasa por un punto <math>P(p_1,p_2)\,</math>: | + | }} |
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- | {{Caja|contenido=<math>\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{y-p_2}{d_2}</math>}} | + | |
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{{p}} | {{p}} |
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Tabla de contenidos |
Vector de dirección de una recta
- Una recta
queda determinada por un punto
y un vector
que fije su dirección. A dicho vector lo llamaremos vector de dirección de la recta.
- Dos puntos
y
de una recta determinan un vector de dirección de la misma,
.
Ecuación vectorial de la recta
Actividad interactiva: Ecuación vectorial de la recta Actividad 1: En la siguiente escena veremos como se obtienen los distintos puntos de una recta utilizando su ecuación vectorial. Actividad: Modifica el parámetro ![]()
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Ecuaciones paramétricas de la recta
Ecuaciones paramétricas de la recta , con vector de dirección
y que pasa por el punto
.
|
A partir de la ecuación verctorial de la recta
![\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t \cdot \overrightarrow{d}](/wikipedia/images/math/7/1/a/71a4da322def2f18f0f045ed96ee7a38.png)
si sustituimos cada vector por sus coordenadas, tenemos:
![(x,y)=(p_1,p_2)+t \cdot (d_1,d_2)](/wikipedia/images/math/0/5/a/05aeb528782ac26e3e6cdbb5396af910.png)
Actividad interactiva: Ecuaciones paramétricas de la recta Actividad 1: En la siguiente escena tenemos la recta con vector de dirección Actividad: Su ecuación vectorial es: y sus ecuaciones paramétricas: Modifica el parámetro
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Ecuación continua de la recta
Ecuación continua de la recta , con vector director
y que pasa por un punto
:
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A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta, despejando el parámetro (siempre y cuando las dos coordenadas del vector
sean distintas de cero), tenemos:
![\begin{cases} x=p_1+ t\cdot d_1 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-p_1}{d_1} \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y-p_2}{d_2} \end{cases}](/wikipedia/images/math/1/2/8/128d91823024041d2b3028035193eda1.png)
![t\,](/wikipedia/images/math/0/c/6/0c68620ee2ea4f1286fcd672a47ea080.png)
Ecuación implícita de la recta
Partiendo de la ecuación continua de la recta: (suponemos que y
)
![\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{y-p_2}{d_2}](/wikipedia/images/math/2/9/6/296eee151482919e164692b7e9ddb36f.png)
Multiplicando en cruz:
![d_2 \cdot (x-p_1)=d_1 \cdot (y-p_2)](/wikipedia/images/math/3/5/e/35e19e81039fa61230f9e7e8ccf3c793.png)
y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, tenemos:
![d_2 \, x -d_1 \, y -d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2=0](/wikipedia/images/math/6/4/9/649da93978d7cd2ee8248732b65e25b1.png)
de donde, haciendo: ,
y
se tiene la siguiente ecuación:
Ecuación implícita de la recta :
|
Antes hemos supuesto y
. Si, por el contrario, alguno fuera cero tendríamos:
- Si
, de las ecuaciones paramétricas serían:
![\begin{cases} x=p_1 \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \end{cases}](/wikipedia/images/math/2/5/8/2589578b1df9dcd012999686e29e8af0.png)
de donde se tiene que la recta es vertical con ecuación y su ecuación implícita sería
.
- Si
, de las ecuaciones paramétricas serían:
![\begin{cases}x=p_1+td_1 \\ y=p_2 \end{cases}](/wikipedia/images/math/e/b/9/eb965bf6e994d4d0aa8a99e814e0c489.png)
de donde se tiene que la recta es horizontal con ecuación y su ecuación implícita sería
.
Proposición
Dada una recta de ecuación :
- El vector
es un vector de dirección de la recta.
- El vector
es un vector perpendicular a la recta.
Antes vimos, en la deducción de la ecuación explícita, que partiendo de la ecuación continua y haciendo ,
y
, se tenía la ecuación implícita
.
Entonces, el vector (-B, A)=(d_1,d_2), que es el vector director de la recta
Y el vector (A,B)=(d_2, -d_1) es perpendicular a la recta porque![(d_2, -d_1)\cdot((d_1,d_2)=0](/wikipedia/images/math/0/f/3/0f354734f0a625f4d08e43d7f3ac1479.png)
Ecuación explícita de la recta
Estudio "no vectorial" de la recta
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- La función lineal.
- Representación gráfica de una recta a partir de su ecuación.
- Pendiente de una recta.
- Representación gráfica de una recta a partir de su pendiente y de un punto por el que pasa.
- Rectas perpendiculares al eje de abscisas.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Deducción geométrica de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
- Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Deducción geométrica de la ecuación de la recta que pasa por un punto dado con pendiente dada.
- Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Distintas formas de escribir la ecuación de la recta.
- Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Rectas paralelas: relación entre sus pendientes. Ejemplos y problemas.
- Rectas perpendiculares: relación entre sus pendientes. Ejemplos y problemas.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Cálculo de la tasa de variación de una recta.
- Ejemplos