Ecuaciones de una recta en el plano (1ºBach)
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- | :<math>3 \cdot (x-3)=2 \cdot (y-1) \quad \rightarrow \quad 3x-9=2y-2 \quad \rightarrow \quad 3x-2y-7=0</math> | + | :<math>3 \, (x-3)=2 \, (y-1) \quad \rightarrow \quad 3x-9=2y-2 \quad \rightarrow \quad 3x-2y-7=0</math> |
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Llamando <math> m=-\cfrac{A}{B}</math>{{b4}}y{{b4}}<math>n=-\cfrac{C}{B}</math>, tenemos la ecuación. | Llamando <math> m=-\cfrac{A}{B}</math>{{b4}}y{{b4}}<math>n=-\cfrac{C}{B}</math>, tenemos la ecuación. | ||
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Tabla de contenidos |
Vector de dirección de una recta
- Una recta
queda determinada por un punto
y un vector
que fije su dirección. A dicho vector lo llamaremos vector de dirección de la recta.
- Dos puntos
y
de una recta determinan un vector de dirección de la misma,
.
Ecuación vectorial de la recta
Actividad interactiva: Ecuación vectorial de la recta Actividad 1: En la siguiente escena veremos como se obtienen los distintos puntos de una recta utilizando su ecuación vectorial. Actividad: Modifica el parámetro ![]()
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Ecuaciones paramétricas de la recta
Ecuaciones paramétricas de la recta con vector de dirección y que pasa por el punto
.
|
A partir de la ecuación verctorial de la recta
![\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t \cdot \overrightarrow{d}](/wikipedia/images/math/7/1/a/71a4da322def2f18f0f045ed96ee7a38.png)
si sustituimos cada vector por sus coordenadas, tenemos:
![(x,y)=(p_1,p_2)+t \cdot (d_1,d_2)](/wikipedia/images/math/0/5/a/05aeb528782ac26e3e6cdbb5396af910.png)
Actividad interactiva: Ecuaciones paramétricas de la recta Actividad 1: En la siguiente escena tenemos la recta con vector de dirección Actividad: Su ecuación vectorial es: y sus ecuaciones paramétricas: Modifica el parámetro
|
Ecuación continua de la recta
Ecuación continua de la recta con vector director y que pasa por un punto
:
|
A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta, despejando el parámetro (siempre y cuando las dos coordenadas del vector
sean distintas de cero), tenemos:
![\begin{cases} x=p_1+ t\cdot d_1 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-p_1}{d_1} \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y-p_2}{d_2} \end{cases}](/wikipedia/images/math/1/2/8/128d91823024041d2b3028035193eda1.png)
![t\,](/wikipedia/images/math/0/c/6/0c68620ee2ea4f1286fcd672a47ea080.png)
Ejemplo: Ecuación continua de la recta
- Halla la ecuación continua de la recta con vector director
que pasa por el punto
.
De las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro e igualamos:
Ecuación implícita de la recta
Ecuación implícita de la recta:
|
Partiendo de la ecuación continua de la recta: (suponemos que y
)
![\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{y-p_2}{d_2}](/wikipedia/images/math/2/9/6/296eee151482919e164692b7e9ddb36f.png)
Multiplicando en cruz:
![d_2 \cdot (x-p_1)=d_1 \cdot (y-p_2)](/wikipedia/images/math/3/5/e/35e19e81039fa61230f9e7e8ccf3c793.png)
y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, tenemos:
![d_2 \, x -d_1 \, y -d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2=0](/wikipedia/images/math/6/4/9/649da93978d7cd2ee8248732b65e25b1.png)
de donde, haciendo: ,
y
se tiene la ecuación.
Antes hemos supuesto y
. Si, por el contrario, alguno fuera cero tendríamos:
- Si
, las ecuaciones paramétricas serían:
![\begin{cases} x=p_1 \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \end{cases}](/wikipedia/images/math/2/5/8/2589578b1df9dcd012999686e29e8af0.png)
de donde se tiene que la recta es vertical con ecuación y su ecuación implícita sería
.
- Si
, las ecuaciones paramétricas serían:
![\begin{cases}x=p_1+td_1 \\ y=p_2 \end{cases}](/wikipedia/images/math/e/b/9/eb965bf6e994d4d0aa8a99e814e0c489.png)
![y=p_2\,](/wikipedia/images/math/e/5/a/e5a2de4f4322a15e275a95c879e29a43.png)
![y-p_2=0\,](/wikipedia/images/math/8/e/7/8e7ea76d0fb1d5acf704ab360814f0aa.png)
Ejemplo: Ecuación implícita de la recta
- Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por los puntos
y
.
Primero calculamos su vector de dirección:
Obtenemos las ecuaciones paramétricas con ese vector director y con uno de los dos puntos, por ejemplo . A partir de éstas obtenemos la ecuación continua:
Multiplicando en cruz y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, obtenemos la ecuación implícita:
Proposición
Dada una recta de ecuación :
- El vector
es un vector de dirección de la recta.
- El vector
es un vector perpendicular a la recta.
Antes vimos, en la deducción de la ecuación explícita, que partiendo de la ecuación continua y haciendo ,
y
, se tenía la ecuación implícita
.
Entonces, el vector (-B, A)=(d_1,d_2), que es el vector director de la recta
Y el vector (A,B)=(d_2, -d_1) es perpendicular a la recta porque![(d_2, -d_1)\cdot((d_1,d_2)=0](/wikipedia/images/math/0/f/3/0f354734f0a625f4d08e43d7f3ac1479.png)
Ecuación explícita de la recta
Ecuación explícita de la recta:
|
donde se llama pendiente de la recta y
ordenada en el origen.
Partiendo de la ecuación implícita
y despejando (siempre que
), tenemos:
![y=-\cfrac{A}{B}x-\cfrac{C}{B}\,](/wikipedia/images/math/4/0/b/40ba9b5ddde783d2f89ae68a97949bb7.png)
![m=-\cfrac{A}{B}](/wikipedia/images/math/4/5/4/454e129e656ea02244c5ab6ffd51bd0f.png)
![n=-\cfrac{C}{B}](/wikipedia/images/math/8/3/0/83000a8c7f3c247665ee67cb2ae1a284.png)
Ejemplo: Ecuación explícita de la recta
- Halla la ecuación explícita de la recta de ecuaciones paramétricas:
Partimos de las ecuaciones paramétricas y obtenemos su ecuación continua.
Para obtener la ecuación explícita basta con despejar :
Primero calculamos su pendientevector de dirección. Como es paralela a la recta y esta tiene vector de dirección ((-1,2)
Obtenemos las ecuaciones paramétricas con ese vector director y con uno de los dos puntos, por ejemplo . A partir de éstas obtenemos la ecuación continua:
Multiplicando en cruz y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, obtenemos la ecuación implícita:
Proposición
- La pendiente de una recta mide el incremento de la ordenada cuando la abcisa se incrementa en una unidad.
- La pendiente de una recta coincide con la tangente del ángulo que forma con el eje de abcisas.
- El vector de coordenadas
es un vector de dirección de la recta de pendiente
.
1. Sean y
, dos puntos de la recta.
Tomemos .
Sus abcisas y
difieren en 1.
Veamos sus ordenadas en cuanto difieren:
2. Por la definición de tangente de un ángulo:
3. Antes vimos que , entonces:
- (1,m)=(1, -\cfrac{A}{B})
Si multiplicamos ambas coordenadas por -B, obtenemos otro vector con la misma dirección:
- -B \cdot ((1, -\cfrac{A}{B})=(-B,A)
Estudio "no vectorial" de la recta
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- La función lineal.
- Representación gráfica de una recta a partir de su ecuación.
- Pendiente de una recta.
- Representación gráfica de una recta a partir de su pendiente y de un punto por el que pasa.
- Rectas perpendiculares al eje de abscisas.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Deducción geométrica de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
- Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Deducción geométrica de la ecuación de la recta que pasa por un punto dado con pendiente dada.
- Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Distintas formas de escribir la ecuación de la recta.
- Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Rectas paralelas: relación entre sus pendientes. Ejemplos y problemas.
- Rectas perpendiculares: relación entre sus pendientes. Ejemplos y problemas.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Cálculo de la tasa de variación de una recta.
- Ejemplos